|
Текст упомянутого выше письма:
Обзор программ по курсу теории вероятностей.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Программа курса теории вероятностей для философского факультета МГУ
1.Пространство элементарных событий и определение вероятности.
Тема 1., Понятие случайного эксперимента. Элементарные события. Пространство элементарных событий.
События. Дискретное и непрерывное пространство элементарных событий.
Тема 2. Вероятности в дискретных пространствах, вероятности в непрерывных пространствах (плотность вероятности). Примеры. Вероятность и практика. Объективная (частотная) и субъективная
(персональная) вероятность.
Тема 3. Операции с событиями, связь с вероятностями (формулы сложения).
Независимые события, независимые случайные эксперименты. Испытания Бернулли.
Тема 4. Условные вероятности, формула умножения. Формула полной вероятности, формула Байеса.
2.Раздел II. Случайные величины.
Тема 1. Случайные эксперименты и случайные величины. Измерение вероятности: частота события как
приближенное значение вероятности. Дискретные случайные величины.
Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Непрерывные случайные величины. Равномерное, показательное, нормальное распределения.
Тема 2. Преобразования случайных величин. Функции распределения. Математическое
ожидание и дисперсия случайной величины. Их свойства.
Тема 3. Совместные распределения двух или нескольких случайных величин случайных.
Маргинальные распределения. Независимые случайные величины. Математическое
ожидание и дисперсия суммы. Ковариация и корреляция.
Тема 4. Двумерное нормальное распределение. Условные распределение, математическое ожидание, дисперсия.
Раздел III. Предельные закономерности теории вероятностей
Тема 1. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Бернулли, измерение
вероятности. Расчёт необходимого объёма случайной выборки. Теорема Чебышева.
Сходимость по вероятности.
Тема 2. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра-Лапласа (интегральная). Классическая центральная предельная теорема. Теорема Пуассона для испытаний Бернулли.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Вопросы по теории вероятностей. программа ВМК
1. Определения алгебры, сигма-алгебры, сигма-алгебры порожденные классами мно- жеств; борелевсие-сигма-алгебры.
2. Пи-класс и дельта-ласс. теорема Серпинского.
3. Индикаторные функции. Связь между операциями над множествами и над их индикаторными функциями.
4. Общее вероятностное пространство, классическое вероятностное пространство.
5. Определение и свойства вероятности (вероятностной меры). Непрерывность веро- ятности сверху (снизу).
6. Условия, эквивалентные счетной аддитивности вероятности. Теорема о продолже- нии вероятности (без доказательства)
7. Определение вещественной случайной величины. Доказать, что сумма и разность двух случайных величин являются случайными величинами.
8. Определение вещественной случайной величины. Доказать, что произведение и частное, если знаменатель отличен от нуля, двух случайных величин являются случайными величинами.
9. Определение вещественной случайной величины. Доказать, что верхняя и нижняя точные грани последовательности случайных величин являются обобщенными случайными величинами.
10. Определение борелевской функции нескольких переменных. Борелевские функ- ции случайных величин. Положительная и отрицательная части случайной вели- чины суть случайные величины.
11. Дискретные случайные величины. Теорема о том, что каждая случайная вели чина является поточечным пределом некоторой последовательности случайных величин с конечным числом значений.
12. Условные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
13. Определение независимости двух и более событий. Эквивалентные определения.
14. Определение и основные свойства функции распределения случайных величин. Дискретные и абсолютно непрерывные функции распределения.
15. Определение и свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин.
16. Общее определение математического ожидания и вывод основных свойств.
17. Формулы для вычисления математического ожидания функции случайной величины при условии, что случайная величина имеет плотность вероятностей.
18. Определение и основные свойства дисперсии случайной величины. Дисперсия суммы двух случайных величин.
19. Характеристическая функция случайной величины. Основные свойства: ограниченность, равномерная непрерывность.
20. Связь между производными характеристической функции и ее моментами.
21. Вычисление характеристических функций нормального, пуассоновского распределений, гамма распределения.
22. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел Чебышева.
23. Закон больших чисел. Теорема Хинчина.
24. Первая теорема Хелли.
25. Вторая теорема Хелли.
26. Вторая обобщенная теорема Хелли.
27. Прямая и обратная теоремы непрерывности.
28. Центральная предельная теорема.
29. Сходимость по вероятности. Критерий сходимости по вероятности.
30. Сходимость почти всюду. Критерий сходимости почти всюду.
31. Виды сходимостей последовательностей случайных величин. Связь между видами сходимости.
32. Формула свертки для плотностей вероятностей.
[1] Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2005. [2] А.Н. Ширяев. Вероятнсть-I. М: МЦНМ, 2004.
программа школы
7 класс
Представление данных в таблицах и диаграммах – 6 часов
Описательная статистика и случайная изменчивость – 5 часов
Введение в теорию вероятностей – 4 часа
Повторение – 3 часа
8 класс
События и вероятности – 5 часов
Элементы комбинаторики – 6 часов
Испытания Бернулли – 4 часа
Повторение – 3 часа
9 класс
Геометрическая вероятность – 2 часа
Случайные величины – 7 часов
Закон больших чисел – 2 часа
Бином Ньютона, треугольник Паскаля – 3 часа
Повторение – 3 часа
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Основы теории вероятностей и стохастических процессов» МФТИ А.А. Натан,О.Г. Горбачев, С.А. Гуз,
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Интуитивные предпосылки теории вероятностей. Множество элементарных исходов опыта, событие. Классическое и статистическое определение вероятности. Математическое определение вероятности. Алгебра и сигма-алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей и следствия из них. Вероятностное пространство.
Теорема непрерывности вероятности. Теорема сложения вероятностей. Зависимые и независимые события. Условная вероятность события. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Случайная величина как измеримая функция. Функция распределения случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей.
Конкретные распределения случайных величин. Схема Бернулли, геометрическое и биномиальное распределение. Простейший поток событий и распределение Пуассона. Показательное, равномерное, нормальное, log-нормальное и отрицательно-биномиальное распределения. Бета-распределение и гамма-распределение.
Случайный вектор. Функция распределения случайного вектора. Зависимые и независимые случайные величины, условные законы распределения. Функции случайных величин. Невырожденное функциональное преобразование случайного вектора.
Интеграл Стилтьеса. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Моменты случайной величины. Неравенство Ляпунова. Условное математическое ожидание. Корреляционная матрица случайного вектора. Коэффициент корреляции двух случайных величин.
Характеристическая функция и ее свойства. Связь моментов случайной величины с ее характеристической функцией. Разложение характеристической функции в ряд.
Сходимость последовательностей случайных величин с вероятностью единица (почти наверное), в среднем квадратичном, по вероятности, по распределению. Соотношение между различными типами сходимости.
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Критерий Колмогорова. Теоремы Хинчина и Чебышева. Леммы Бореля-Кантелли. Усиленный закон больших чисел. Теорема Колмогорова и Бореля. Оценивание скорости сходимости частоты к вероятности в схеме Бернулли.
Интегральная и локальная теоремы Myавра-Лапласа. Дискретная поправка. Теорема Линдберга. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Условие Ляпунова. Теорема Гливенко.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ПРОГРАММА*
кандидатского экзамена по специальности
01.01.05 «Теория вероятностей и математическая статистика»
по физико-математическим наукам.
I. Вероятностные меры
1. Алгебры и сигма-алгебры [1, гл. 2, §2.1]. Конечные и бесконечные измеримые пространства. Теорема Каратеодори о продолжении мер [2, §10-13].
2. Примеры наиболее важных для теории вероятностей измеримых пространств. R, R1, Rn, R [1, гл. 2, §2.2-2.4)].
3. Построение вероятност меры в R. Теорема Колмогорова [1, гл. 2, §3]. Схема Бернулли с бесконечным числом испытаний [1, гл. 2, §1]. Гауссовские последов=ти [1, гл. 2, §13].
4. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова [1, гл. 2, §1].
5. Измеримые функции [1, гл. 2, §4]. Равномерная сходимость, сходимость почти всюду и сходимость по мере [1, гл. 2, §10; 9].
6. Определение интеграла Лебега и его связь с интегралом Лебега-Стилтьеса в R1 [1, гл. 2, §6.1-6.4, §6.9, §6.11].
7. Мера, определяемая с помощью интеграла Лебега [1, гл. 2, §6.8]. Производная Радона-Никодима [2, §28-31].
8. Произведения мер. Теорема Фубини [1, гл. 2, §6.10].
9. Пространства L1 и L2 и их характеристики [1, гл.2, §10-11].
10. Сходимость в среднем [1, гл. 2, §10.1]. Ортогональность или некоррелированность случайных величин [1, гл. 2, §11.1-11.2]. Проекция случайной величины на подпространство, порожденное другими случайными величинами. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта [1, гл. 2, §11.3-11.4].
11. Независимости событий и сигма-алгебр [1, гл. 1, §3.4; гл. 2, §2, лемма 4]. Условные вероятности и условные математические ожидания [1, гл. 2, §7.1-7.7].
II. Случайные величины и распределения в Rn
1. Определение и основные свойства функции распределения [1, гл. 2, §3.1] и характеристической функции случайных величин [1, гл. 2, §12.1-12.3]. Формулы обращения [1, гл. 2, §12.5], равенство Парсеваля. Теорема непрерывности [1, гл. 3, §3.2].
2. Центральная предельная теорема [1, гл. 3, §4.1-4.2]. Теорема Берри-Эссеена [1, гл. 3, §11; 3, т. 2, гл. 16, §3, §5].
3. Безгранично делимые распределения: определение, свойства, примеры. Представление Леви-Хинчина логарифма характеристической функции безгранично делимого закона (без доказательства) [1, гл. 3, §6; 11; 12, гл. 2].
4. Вероятности больших уклонений сумм независимых случайных величин [4, гл. 8, §8].
III. Последовательности случайных величин
1. Закон "нуля или единицы". Теоремы Бореля и Колмогорова [1, гл. 4, §1.1-1.3].
2. Усиленный закон больших чисел для независимых случайных величин. Теоремы Колмогорова [1, гл. 4, §2.1, §3].
3. Закон повторного логарифма для сумм независимых случайных величин [1, гл. 4, §4].
4. Стационарность и эргодичность случайных последовательностей. Теорема Биркгофа-Хинчина [1, гл. 5].
IV. Случайные процессы. Распределения в функциональных пространствах
1. Слабая сходимость, относительная компактность и плотность семейства вероятностных мер [1, гл. 3, §1.3-1.4, §2; 5, приложение 2].
2. Непрерывность и дифференцируемость случайной функции [6, §2.1; 7, гл. 4].
3. Процессы с независимыми приращениями [5, гл. 2, §1]. Пуассоновс процесс и его свойства [5, гл. 2, §2, гл. 6, §9]. Винеровский процесс и свойства его траекторий [5, гл. 2, §3, гл. 3].
4. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации случайного процесса (с доказательством) [6, §5.2].
5. Стохастический интеграл от неслучайной функции и его основные свойства [5, гл. 7, §1-7; 6, §2.2]. Спектральное представление стационарного в широком смысле процесса и его корреляционной функции [5, гл. 7, §8-12]. Теорема Бохнера-Хинчина [5, приложение 4].
6. Линейные преобразования стационарных процессов, интегрирование и дифференцирование [6, §4.2.3а]. Линейное прогнозирование [5, гл. 7, §15-20].
7. Гауссовские процессы. Теорема о существовании гауссовского процесса с заданной корреляционной функцией [5, гл. 2, §4-6].
V. Некоторые виды зависимости
1. Мартингалы и полумартингалы, теоремы об остановленном мартингале [5, гл. 4, §1-8]. Тождество Вальда [1, гл. 7, §2.1-2.3].
2. Теоремы о сходимости мартингалов [1, гл. 7, §4.1-4.3].
3. Цепи Маркова (с дискретным временем) [1, гл. 8, §1.1-1.2, §1.5-1.8], классификация состояний [1, гл. 8, §4-5], условия эргодичности [1, гл. 7, §6-7].
4. Процессы рождения и гибели: определение, условия эргодичности, предельные распределения, примеры [3, т.1, гл. 17].
5. Ветвящиеся процессы (с дискретным временем и одним типом частиц): определ, условия вырождения, предельные теоремы для числа частиц [5, гл. 4, §15; 10, гл. 8, §36; 13, гл. 1].
6. Cкачкообразные процессы [3, т. 2, гл. 10, §3; 7, гл. 7].
7. Марковские процессы [5, гл. 6, §1-3, §5-12] и полугруппы [6, §10.1.1-10.1.5]. Уравнения Колмогорова [6, §11].
VI. Стохастические уравнения и диффузионные процессы
1. Стохастический интеграл [5, гл. 8, §1-11; 6, §12.1]. Формула Ито [6, §12.2].
2. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений [5, гл. 8, §15-17].
3. Исследование распределений функционалов от диффузионных процессов с помощью дифференциальных уравнений [7, гл. 8, §4].
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Из приведенного обзора видно, что все программы с большей или меньшей математической детализацией рассматривают классические вопросы теории, т.е.:
-пространство элементарных событий, элементы теории меры, определение вероятностей.
-Дискретные и непрерывные с.в.
-Типовые распределения.
-Приближения биномиального распределения нормальным (теоремы Муавра-Лапласса) и Пуассоновским
-Законы больших чисел и центральная предельная теорема.
В некоторых случаях большее или меньшее внимание уделяется характеристическим функциям
программа кандидатского экзамена по теор.вер составлена на сильном математическом уровне и несомненно полезна для совершенствования знаний в области теории вероятностей.
Недостатки
Ни в одном из изложенных курсов не отражены некоторые более сложные задачи комбинаторики и теории вероятностей, касающиеся мультиномиальных распределений (см.задачи Яндекс-школы).
По моим представлениям современная теория вероятностей выходит за рамки изложенного.
Это –марковские цепи. (Сказать процессы все-таки рука не поворачивается, теория случайных процессов – отдельный курс) с задачами случайного блуждания, разорения игрока (Ширяев).
(Исключение - Марковские цепи и случайные процессы в рамках теории вероятностей рассматривает только программа кандидатского экзамена по теор.вер)
-Теория массового обслуживания .
-Теория надежности. Приемочный контроль и связанный теперь с этим контроль качества.
- байесовы сети – направление в экспертных системах основанное на теории вероятностей.
-статмоделирование. (не только задач статистики но и теории вероятностей) Для компьютерного моделирования важно умение генерировать случайные величины, законы ,плотности, потоки событий (в ТМО). Где все это отражено? В каких программах?
|
Вход
Регистрация
FAQ
Поиск
Пользователи
