Высокие статистические технологии

Форум сайта семьи Орловых

Текущее время: Сб сен 23, 2017 9:21 pm

Часовой пояс: UTC + 3 часа




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Системная нечеткая интервальная математика - новая книга
СообщениеДобавлено: Вт мар 25, 2014 2:45 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 7216
Орлов А.И., Луценко Е.В.
Системная нечеткая интервальная математика. Монография (научное издание). – Краснодар, КубГАУ. 2014. – 600 с.

В монографии, состоящей из двух взаимосвязанных частей, рассматриваются перспективы и некоторые «точки роста» современной теоретической и вычислительной математики.
В 1-й части освещаются следующие вопросы: числа и множества - основа современной математики; математические, прагматические и компьютерные числа; от обычных множеств - к нечетким; теория нечетких множеств и «нечеткое удвоение» математики; о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств; интервальные числа как частный случай нечетких множеств; развитие интервальной математики (интервальное удвоение математики).
2-я часть посвящена вопросам системного обобщения математики: система как обобщение множества; системное обобщение математики и задачи, возникающие при этом; системное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов); системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости; когнитивные функции; матрицы знаний как нечеткое с расчетной степенью истинности отображение системы аргументов на систему значений функции; модификация метода наименьших квадратов при аппроксимации когнитивных функций; развитие идеи системного обобщения математики в области теории информации - системная (эмерджентная) теория информации; информационные меры уровня системности - коэффициенты эмерджентности; прямые и обратные, непосредственные и опосредованные правдоподобные логические рассуждения с расчетной степенью истинности; интеллектуальная система Эйдос-Х++ как инструментарий, реализующий идеи системного нечеткого интервального обобщения математики.
Некоторые мысли, излагаемые в монографии, носят спорный и дискуссионный характер и высказаны в порядке научного обсуждения.

Список литературы 286 наим.

ISBN 978-5-94672-757-0
© А.И. Орлов, Е.В. Луценко, 2014
© ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет», 2014

Полностью книга размещена на персональной странице А.И. Орлова на сайте МГТУ им. Н.Э. Баумана http://www.bmstu.ru/ps/~orlov/fileman/l ... 0%B8%D1%8F


Вернуться наверх
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Системная нечеткая интервальная математика - новая книга
СообщениеДобавлено: Вт мар 25, 2014 2:47 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 7216
СОДЕРЖАНИЕ


ОБ АВТОРАХ 6
ВВЕДЕНИЕ 16
ЧАСТЬ 1-Я: НЕЧЕТКОЕ ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОБОБЩЕНИЕ МАТЕМАТИКИ 60
ГЛАВА 1. ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА – ОСНОВА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ 60
1.1. ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА 60
1.2. ФУНКЦИИ 61
1.3. ПАРАДОКСЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 62
1.4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ 64
ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, ПРАГМАТИЧЕСКИЕ И КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧИСЛА 65
2.1. РЕАЛЬНО ИСПОЛЬЗУЕМ НЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 65
2.2. ПРАГМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 66
2.3. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЧИСЛА 67
2.4. ДВА ПАРАДОКСА, СВЯЗАННЫЕ С ЧИСЛАМИ 68
ГЛАВА 3. ОТ ОБЫЧНЫХ МНОЖЕСТВ – К НЕЧЕТКИМ 70
3.1. ЧТО ТАКОЕ «КУЧА»? 70
3.2. ОБСУЖДЕНИЕ ПОНЯТИЯ «НЕЧЕТКОСТЬ» БОРЕЛЕМ И ПУАНКАРЕ 72
3.3. ЧЕЛОВЕК МЫСЛИТ НЕЧЕТКО 73
3.4. КОГДА ВРЕДНА ИЗЛИШНЯЯ ЧЕТКОСТЬ? 75
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ И «НЕЧЕТКОЕ УДВОЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 77
4.1. ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ 77
4.2. СОВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 78
4.3. ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА ДЛЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 80
4.4. ДИСТРИБУТИВНЫЙ ЗАКОН ДЛЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 80
4.5. НЕЧЕТКОЕ УДВОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ 82
4.6. ПОЛЬЗА НЕЧЕТКОСТИ 84
4.7. ПАРАДОКС ТЕОРИИ НЕЧЕТКОСТИ 85
4.8. ПРИМЕРЫ ОПИСАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 87
4.9. О СТАТИСТИКЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 97
ГЛАВА 5. О СВЕДЕНИИ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ К ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ 103
5.1. НЕЧЕТКОСТЬ И СЛУЧАЙНОСТЬ 103
5.2. СЛУЧАЙНЫЕ МНОЖЕСТВА 104
5.3. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА КАК ПРОЕКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ. 106
5.4. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕЧЕТКИХ И СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ 108
5.5. СВЕДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД НЕЧЕТКИМИ МНОЖЕСТВАМИ К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОПЕРАЦИЙ НАД СЛУЧАЙНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ 110
5.6. НЕЧЕТКИЙ ЭКСПЕРТНЫЙ ВЫБОР В КОНТРОЛЛИНГЕ ИННОВАЦИЙ 115
ГЛАВА 6. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ЧИСЛА КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ 120
6.1. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 120
6.2. «ИНТЕРВАЛЬНОЕ УДВОЕНИЕ» МАТЕМАТИКИ 121
ГЛАВА 7. СТАТИСТИКА ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ 123
7.1. РАЗВИТИЕ СТАТИСТИКИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ 123
7.2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ И РЕЗУЛЬТАТЫ СТАТИСТИКИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ 128
7.3. ОЦЕНИВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ 133
7.4. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ 136
7.5. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ В ЗАДАЧАХ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ 163
7.6. ЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ 167
7.7. ИНТЕРВАЛЬНЫЙ ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ 191
7.8. ИНТЕРВАЛЬНЫЙ КЛАСТЕР-АНАЛИЗ 194
7.9. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ В ИНВЕСТИЦИОННОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ 196
7.10. СТАТИСТИКА ИНТЕРВАЛЬНЫХ ДАННЫХ В ПРИКЛАДНОЙ СТАТИСТИКЕ 201
ЧАСТЬ 2-Я: СИСТЕМНОЕ ОБОБЩЕНИЕ МАТЕМАТИКИ 206
ГЛАВА 8. СИСТЕМА КАК ОБОБЩЕНИЕ МНОЖЕСТВА. СИСТЕМНОЕ ОБОБЩЕНИЕ МАТЕМАТИКИ И ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ЭТОМ 206
8.1. ПРОГРАММНАЯ ИДЕЯ СИСТЕМНОГО ОБОБЩЕНИЯ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ СОЗДАНИЯ СИСТЕМНОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 210
8.2. НЕФОРМАЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА И ОБСУЖДЕНИЕ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ СИСТЕМНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 215
ГЛАВА 9. РАЗВИТИЕ ИДЕИ СИСТЕМНОГО ОБОБЩЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ: СИСТЕМНАЯ (ЭМЕРДЖЕНТНАЯ) ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ (СТИ) 276
ГЛАВА 10. ИНФОРМАЦИОННЫЕ МЕРЫ УРОВНЯ СИСТЕМНОСТИ – КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ СИСТЕМНОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 297
10.1. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ МЕРЫ ВОЗРАСТАНИЯ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ В ПРОЦЕССЕ ЭВОЛЮЦИИ СИСТЕМ (В РАМКАХ СИСТЕМНОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ) 298
10.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОДСИСТЕМ РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЕЙ ИЕРАРХИИ НА ЭМЕРДЖЕНТНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМЫ В ЦЕЛОМ С ПРИМЕНЕНИЕМ АСК-АНАЛИЗА И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ "ЭЙДОС" (МИКРОСТРУКТУРА СИСТЕМЫ КАК ФАКТОР УПРАВЛЕНИЯ ЕЕ МАКРОСВОЙСТВАМИ) 315
10.3. КОЭФФИЦИЕНТ ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 364
10.4. СИСТЕМНОЕ ОБОБЩЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ (НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАЦИИ ОБЪЕДИНЕНИЯ БУЛЕАНОВ) И ОБОБЩЕНИЯ ЛОКАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ЭМЕРДЖЕНТНОСТИ ХАРТЛИ 381
ГЛАВА 11. КОГНИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ КАК ОБОБЩЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ В АСК-АНАЛИЗЕ И СИСТЕМНОЙ НЕЧЕТКОЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ 423
11.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ В МАТЕМАТИКЕ 423
11.2. ОГРАНИЧЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОГО ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ И ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ 424
11.3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ В АСК-АНАЛИЗЕ 430
11.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ В ПРОГРАММНОМ ИНСТРУМЕНТАРИИ АСК-АНАЛИЗА – ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ «ЭЙДОС» 450
11.5. ВЫВОДЫ 470
ГЛАВА 12. ПОВЫШЕНИЕ СТЕПЕНИ ФОРМАЛИЗАЦИИ ВЗВЕШЕННОГО МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПУТЕМ ВЫБОРА В КАЧЕСТВЕ ВЕСОВ НАБЛЮДЕНИЙ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ В НИХ О ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИИ И АВТОМАТИЗАЦИИ ИХ РАСЧЕТА ПУТЕМ ПРИМЕНЕНИЯ АСК-АНАЛИЗА 472
11.1. ВАРИАНТ 1-Й: ПРИМЕНЕНИЕ КОГНИТИВНЫХ ФУНКЦИЙ В ВЗВЕШЕННОМ МНК 473
11.2. ВАРИАНТ 2-Й: СРЕДНЕВЗВЕШЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ В ВЗВЕШЕННОМ МНК 475
ГЛАВА 13. МЕТОД КОГНИТИВНОЙ КЛАСТЕРИЗАЦИИ ИЛИ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ НА ОСНОВЕ ЗНАНИЙ (КЛАСТЕРИЗАЦИЯ В СИСТЕМНО-КОГНИТИВНОМ АНАЛИЗЕ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ «ЭЙДОС») 476
ГЛАВА 14. ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЭЙДОС-Х++ КАК ИНСТРУМЕНТАРИЙ, РЕАЛИЗУЮЩИЙ ИДЕИ СИСТЕМНОГО НЕЧЕТКОГО ИНТЕРВАЛЬНОГО ОБОБЩЕНИЯ МАТЕМАТИКИ 500
14.1. СИСТЕМА «ЭЙДОС» – ОДНА ИЗ СТАРЕЙШИХ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ УНИВЕРСАЛЬНЫХ СИСТЕМ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА, ШИРОКО ПРИМЕНЯЕМЫХ И РАЗВИВАЮЩИХСЯ И В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ 500
14.2. УНИВЕРСАЛЬНАЯ КОГНИТИВНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА «ЭЙДОС-Х++» – НОВОЕ ПОКОЛЕНИЕ СИСТЕМЫ «ЭЙДОС» 536
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 561
ЛИТЕРАТУРА 562


Вернуться наверх
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Системная нечеткая интервальная математика - новая книга
СообщениеДобавлено: Вт мар 25, 2014 2:51 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 7216
ВВЕДЕНИЕ

Неизвестно, какая математика появилось раньше, вычисли-тельная или теоретическая. Ясно, что вычислительная математи-ка возникла тогда, когда возникла потребность в реальных прак-тических вычислениях. Возможно, это было сделано на основе некоторых теоретических представлений, однако гораздо более правдоподобным является предположение, что сами эти теорети-ческие представления возникли как обобщение опыта реальных вычислений.
Вычислители прошлого, не имевшие в своем распоряжении компьютеров, достигли больших высот в практических вычисле-ниях. Однако именно с появлением компьютеров и информаци-онных технологий началась новая современная эпоха бурного развития вычислительной математики, численных методов и дис-кретной математики (далее будем называть все эти направления вычислительной математикой).
На начальных этапах развития различных направлений со-временной вычислительной математики казалось очевидным, что все они развивались на грандиозном стволе теоретической мате-матики подобно ветвям огромного дерева и питались его соками. Но недавно стало ясно, что в огромном количестве различных направлений вычислительной математики, которые в этой мета-форе можно уподобить листьям, тоже возникает много новых перспективных идей, некоторые из которых вполне могут обога-тить теоретическую математику и дать новый импульс ее разви-тию. Иначе говоря, сегодня наблюдается взаимопроникновение и взаимообогащение теоретической и вычислительной математики.
Кратко, не претендуя на полноту изложения, рассмотрим не-которые из подобных идей.

1. Числа и множества – основа современной математики
Математика – язык науки [1, с.18]. С появлением новых объ-ектов обсуждения язык развивается. «Между математикой и практикой всегда существует двусторонняя связь; математика предлагает практике понятия и методы исследования, которыми она уже располагает, а практика постоянно сообщает математике, что ей необходимо» [1, c.53].
В настоящей работе мы рассматриваем необходимость рас-ширения математического аппарата с целью учета присущих ре-альности нечеткости, интервальности, системности, а также ос-новы соответствующего предлагаемого нами нового перспектив-ного направления теоретической и вычислительной математики – системной нечеткой интервальной математики (СНИМ).
Анализируя, следуя А.Н. Колмогорову [2], математику в ее историческом развитии, констатируем, что ее основой являются действительные числа и множества. С прикладной точки зрения проанализируем эти понятия, обсудим необходимость обобщений и наметим пути таких обобщений.
Несколько слов о том, что известно всем специалистам, за-нимающимся разработкой и применением математических мето-дов исследования.
Натуральные, рациональные, действительные числа исполь-зуются в различных расчетах, основанных на математических моделях. Глубокое изучение натуральных числе было осуществ-лено уже в Древней Греции. В частности, была установлена бес-конечность ряда натуральных чисел. Однако строгая теория дей-ствительных чисел была построена только во второй половине XIX в.
Тогда же была разработана теория множеств, оказавшаяся весьма удобной для определения понятий и построения матема-тических моделей. Например, чтобы ввести функцию, задают два множества А и В – область определения и область значений соот-ветственно, а функцию f описывают как отображение из А в В, т.е. как множество всех пар (x, f(x), где х – элемент множества А, а f(x) – соответствующий элемент множества В. Второй пример – чтобы сформулировать вероятностно-статистическую модель ка-кого-либо реального явления, необходимо начать с пространства (множества) элементарных событий и случайных величин – функций, для которых это пространство является областью опре-деления. Практика показывает, что игнорирование этих началь-ных определений приводит к недоразумениям и ошибкам.
Практически сразу же после появления теории множеств в ней были обнаружены противоречия (парадоксы). Один из них – парадокс Бертрана Рассела, открытый им в 1901 г. Дадим его краткое описание.
Пусть К— множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в каче-стве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получа-ем противоречие с «не содержат себя в качестве своего элемен-та». Если предположить, что К не содержит себя, как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь К — множество всех мно-жеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит, должно содержать все такие множества, включая и себя.
Конечно, парадокс Рассела можно сформулировать без упот-ребления термина «множество». Пусть по определению брадо-брей - это тот, кто бреет тех¸ кто сам не бреется. Должен ли бра-добрей брить самого себя? Ответ «да» противоречит определе-нию брадобрея. Ответ «нет» относит брадобрея к тем, кто сам не бреется, следовательно, он себя сам должен брить.
Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использо-вания в рассуждении внутренне противоречивого понятия «мно-жества всех множеств» и представления о возможности неогра-ниченного применения законов классической логики при работе с множествами [3, с.17-18]. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в по-строении для теории множеств непротиворечивой аксиоматиче-ской теории, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы опе-рирования с множествами.
Было предложено несколько возможных аксиоматических теорий, однако ни для одной из них до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как по-казал К. Гёдель, доказав ряд теорем о неполноте, такого доказа-тельства не может существовать (в строго определенном смысле). Отметим, что парадоксы ставят под сомнение не только теорию множеств и построенный на ее основе математический инстру-ментарий, но и схемы логических рассуждений. Приходится кон-статировать, что здание современной математики и логики не имеет законченного обоснования, построено на песке.
Самое интересное состоит в том, что реально работающие математики, разрабатывающие теории и доказывающие теоремы, решающие прикладные задачи, обычно совсем не обеспокоены существованием парадокса Рассела и аналогичных ему. Они спо-койно используют «наивную» теорию множеств, не обращая внимание на возможность парадоксов и не обращаясь к той или иной аксиоматической теории множеств. Заниматься такими тео-риями – удел специалистов по математической логике.
Однако само наличие парадокса Рассела и ему аналогичных показывает, что развитие математики не закончено. Требуется развитие новых концепций. О некоторых из них пойдет речь ни-же в настоящей работе.

2. Математические, прагматические и компьютерные числа
Обсудим базовое для математики понятие числа. Будем счи-тать, что читателю знакомы математические числа, о которых рассказывают в средней и высшей школе.
Констатируем, что реально используемые – назовем их праг-матическими - числа зачастую не являются математическими. Так, результаты измерений обычно задаются небольшим количе-ством значащих цифр (от 1 до 5).
Например, записывать численность жителей страны с точно-стью до одного человека бессмысленно, поскольку указанная численность весьма быстро меняется. Так, для России начала те-кущего тысячелетия каждые пятнадцать секунд умирал человек, каждые двадцать секунд появлялся новорожденный, следова-тельно, каждую минуту численность населения уменьшалась на одного человека, а потому любое конкретное значение этой чис-ленности с точностью до одного человека могло соответствовать действительности в течение лишь одной минуты.
Экономические величины порядка миллиардов рублей бес-смысленно записывать с точностью до копеек. Надо – с точно-стью до миллионов.
Расчеты обычно ведем, используя десятичную запись чисел. Напомним, что многие математические числа требуют для своей записи бесконечно много десятичных знаков. Например, длина диагонали квадрата со сторонами единичной длины не может быть выражена конечным числом десятичных знаков. Как и дли-на окружности единичного диаметра и основание натуральных логарифмов. И даже запись результата деления 1 на 3 состоит – в математике – из бесконечного числа десятичных знаков: 0,3333333... Десятичная запись - это декларативная форма пред-ставления числа, при которой число непосредственно готово для использования в вычислениях, а представление чисел в виде формул - это процедурная форма представления числа, подобная алгебраической, при которой перед использованием числа для вычислений необходимо предварительно еще вычислить его. Проблема в том, что это надо делать, но это не всегда возможно, даже в принципе (например в случае иррациональных чисел).
Итак, при решении реальных задач мы вынуждены пользо-ваться не математическими числами, а прагматическими. В ре-зультате тождества чистой математики не всегда выполняются при анализе данных, выраженных прагматическими числами.
Например, для выборочной дисперсии, рассчитанной по вы-борке x1, x2, …, xn, с точки зрения чистой математики справедли-во тождество, которое проверяется с помощью равносильных преобразований:
.
Однако расчеты по левой и правой частям этой формулы мо-гут дать весьма различающиеся значения. Например, рассмотрим ситуацию, когда xi = 109 + yi, i = 1, 2, …, n, где yi – величины по-рядка 1 (для определенности, от (-3) до 3). Тогда в левой части формулы усредняются величины порядка 1 (числа от 0 до 9). А вот в правой из числа порядка 1018 вычитается число также по-рядка 1018, т.е. каждое из них имеет 18 знаков до запятой, и пер-вые 17 из них должны совпасть. Ясно, что из-за погрешностей вычислений такое совпадение будет не всегда. Вычисления по правой части формулы для выборочной дисперсии могут число, заметно отличающееся от результата расчета по левой части. На-пример, может получиться отрицательное число. Приходилось видеть весьма недоумевающие лица прикладников, у которых дисперсия получилась отрицательной.
Кроме прагматических чисел, целесообразно выделить ком-пьютерные. Они появляются из-за существования в любом ком-пьютере «машинного нуля»: все числа, по абсолютной величине меньшие, чем «машинный нуль», компьютер воспринимает как 0. Как следствие существования «машинного нуля», некоторые ре-зультаты чистой математики неверны для расчетов на компьюте-рах. Например, с точки зрения чистой математики сумма

при росте числа слагаемых стремится к бесконечности (из-вестно, что это сумма растет как lnn – натуральный логарифм числа слагаемых). При расчетах на компьютере при росте числа слагаемых наступит момент, когда очередное слагаемое станет меньше «машинного нуля», компьютер его воспримет как 0, сумма перестанет меняться, останется конечной. (Для конкретно-го случая можно разрабатывать специально для него приспособ-ленные алгоритмы расчетов. Но это не меняет общего вывода об отличии компьютерных числе от математических.)
Принципиальное различие математических, прагматических и компьютерных чисел подробно обсуждает Е.М. Левич [4].
Приведем еще два парадокса, основанных на этом различии [5].
Как уже отмечалось, все реальные результаты наблюдений записываются рациональными числами (обычно десятичными числами с небольшим - от 2 до 5 - числом значащих цифр). Как известно, множество рациональных чисел счетно, а потому веро-ятность попадания значения непрерывной случайной величины в него равно 0. Следовательно, все рассуждения, связанные с моде-лированием непрерывными случайными величинами реальных результатов наблюдений - это рассуждения о том, что происходит внутри множества меры 0. Первый парадокс состоит в том, что множествами меры 0 в теории вероятностей принято пренебре-гать. Другими словами, с точки зрения теории вероятностей все-ми реальными данными можно пренебречь, поскольку они входят в одно фиксированное множество меры 0. Т.е. реальный мир не существует с точки зрения математика.
Глубже проанализируем ситуацию. Сколько всего чисел ис-пользуется для записи реальных результатов наблюдений? Речь идет о типовых результатах наблюдений, измерений, испытаний, опытов, анализов в технических, естественнонаучных, экономи-ческих, социологических, медицинских и иных исследованиях. Если эти числа в десятичной записи имеют вид (a,bcde)10k, где a принимает значения от 1 до 9, а стоящие после запятой b, c, d, e - от 0 до 9, в то время как показатель степени k меняется от (-100) до +100, то общее количество возможных чисел равно 9х104х201=18 090 000, т.е. меньше 20 миллионов. А с учетом зна-ка – 40 миллионов. Второй парадокс, усиливающий первый, со-стоит в том, что для описания реальных результатов наблюдений вполне достаточно 20 миллионов отдельных символов. Бесконеч-ность натурального ряда и континуум числовой прямой - это ма-тематические абстракции, надстроенные над дискретной и со-стоящей из конечного числа элементов реальностью. (При изме-нении числа значащих цифр принципиальный вывод не меняет-ся.) Таким образом, реальные данные лежат не только во множе-стве меры 0, но и в конечном множестве, причем число элемен-тов в этом множестве вполне обозримо.
Из сказанного вытекает необходимость модернизации основ математики. Нужен математический аппарат, позволяющий опе-рировать с прагматическими и компьютерными числами.

3. От обычных множеств – к нечетким
В теории множеств переход от принадлежности элемента множеству к непринадлежности происходит скачком, что не все-гда соответствует представлениям о свойствах реальных сово-купностей. Следовательно, теорию множеств также необходимо модернизировать. Основное направление при этом – использова-ние множеств с размытыми границами.
В 1965 г. в журнале «Информация и управление» появилась статья Лотфи А. Заде, профессора информатики Калифорнийско-го Университета в Беркли, специалиста по теории управления сложными системами. Она называлась необычно: «Fuzzy Sets». Второе слово этого названия переводится с английского языка привычным математическим термином «множества», а вот пер-вое никогда до тех пор в математической и кибернетической ли-тературе не использовалось. Согласно словарю, «fuzz» - пух, пу-шинка, «fuzzy» - пушистый. На русский язык термин «fuzzy» пе-реводят по-разному: нечеткий, размытый, расплывчатый, реже – туманный, пушистый и т.п.
За прошедшие десятилетия «пушистой» тематике посвящены тысячи статей и книг. Появилось новое направление в вычисли-тельной математике и математической кибернетике – теория не-четкости. Выходят международные научные журналы, проводят-ся конференции, в том числе и в нашей стране. Обсудим, почему необходимо учитывать нечеткость при описании мышления и восприятия человека.
Что такое «Куча»? Знаменитый софизм «Куча» обсуждали еще древнегреческие философы. Вот как можно его изложить: «Одно зерно не составляет кучу. Если к тому, что не оставляет кучи, добавить одно зерно, то куча не получится. Следовательно, никакое количество зерен не составляет кучу».
Рассуждение соответствует известному принципу математи-ческой индукции. База индукции – это утверждение: «Одно зерно не составляет кучу». Индуктивный переход: «Если к тому, что не оставляет кучи, добавить одно зерно, то куча не получится». И заключение: «Совокупность n зерен не составляет кучу при лю-бом n». Другими словами: «Никакое количество зерен не состав-ляет кучу».
Полученное утверждение явно нелепо: каждый согласится, что 100 миллионов зерен пшеницы – довольно большая куча (объемом около 6 кубометров). Как же возникает столь абсурд-ный вывод?
О чем говорит этот софизм? В нем обсуждаются два понятия – «несколько зерен» и «куча» - и показывается, что граница меж-ду ними в мышлении людей и в отражающем это мышление есте-ственном языке (русском, английском, китайском, любом другом) нечетка, размыта.
В самом деле, разве можно указать такое число N, что сово-купность из N зерен – уже куча, а из (N-1) зерна – еще нет? Мож-но ли допустить, например, что 325 647 зерен не образуют кучу, а 325 648 – образуют? Конечно, указание точной границы здесь бессмысленно. Ни один человек не сможет различить эти две со-вокупности зерен.
Представим теперь, что проводится специальная серия опы-тов: большому числу людей предлагают наборы из n зерен и спрашивают: «Это куча?» И пусть никто не уклоняется от ответа.
Что будет происходить? При малом n все единодушны: «Нет, это не куча, это всего лишь несколько зерен». При многих мил-лионах зерен все тоже будут едины в своем мнении: «Это куча». А при промежуточных значениях n мнения могут разделиться – одни выскажутся за «кучу», другие против.
Результаты описанного эксперимент допускает плодотвор-ную интерпретацию: каждому числу зерен n можно сопоставить число pn – долю опрошенных, которые считают n зерен кучей. С такой точки зрения понятие «куча» описывается не одним числом – границей между «несколькими зернами» и «кучей», а последо-вательностью pn, n = 1, 2, …, члены которой равны нулю при ма-лых n и единице – при больших.
Софизм «Куча» в начале ХХ в. обсуждал французский мате-матик Эмиль Борель. Он предложил описывать понятие «куча» последовательностью pn, n = 1, 2, …, и указал способ получения этой последовательности с помощью массового опроса. Исходил Э. Борель из глубокого анализа понятия физической непрерывно-сти, выполненного великим математиком и физиком Анри Пуан-каре. В частности, Пуанкаре писал:
«… Непосредственные результаты опыта могут быть выра-жены следующими соотношениями:
А = В, В = С, A < C,
которые можно рассматривать как формулу физической не-прерывности. Эта формула заключает в себе недопустимое раз-ногласие с законом противоречия; необходимость избежать его и заставила нас изобрести идею математической непрерывности» [6, с.28].
Поясним мысль Пуанкаре. Пусть A(n) – гиря весом в n грам-мов. Пусть эксперт сравнивает две гири «вручную», т.е. не ис-пользуя весов. Очевидно, эксперт не в состоянии уловить разни-цу в 1 грамм, поэтому естественно ожидать, что мнение эксперта будет выражено последовательностью равенств
А(1000) = А(1001), А(1001) = А(1002), …, А(1999) = А(2000).
Вместе с тем гири весом в 1 кг и в 2 кг эксперт сможет разли-чить наверняка, так что по его мнению
А(1000) < A(2000).
Очевидно, два заключения одного и того же эксперта проти-воречат друг другу. В выводах эксперта нарушается транзитив-ность. Наблюдаем парадокс того же типа, что и софизм «Куча». Сказанное показывает, что процесс математического моделиро-вания процессов измерений, в том числе получения экспертных мнений, нетривиален.
Понятие «куча» размыто не только для совокупности людей, но и для отдельно взятого человека. Представьте себе, что вам предъявляют один за другим наборы зерен, спрашивая: «Это ку-ча?» Что вы будете отвечать? При малом числе зерен – «нет», при большом – «да», а при промежуточном станете колебаться. Если экспериментатор настойчив, он вытянет у вас ответ типа: «Это скорее куча, чем несколько зерен». А если он убедительно потре-бует от вас оценить числом степень вашей уверенности, то добь-ется чего-нибудь вроде: «Семьдесят пять шансов из ста за то, что это куча». В итоге ваше личное мнение будет выражено последо-вательностью pn, n = 1, 2, …, того же типа, что и мнение большой совокупности экспертов.
Человек мыслит нечетко. Понятия, используемые людьми, отнюдь не всегда легко выразить числами. Например, что такое «оранжевый цвет»? Казалось бы, ответить на этот вопрос нетруд-но – достаточно указать на шкале электромагнитных волн грани-цы, между которыми лежит оранжевый цвет. В «Малой Совет-ской Энциклопедии» (1930 г.) даже указаны конкретные числа: 589 микрометров – грань оранжевого и золотисто-желтого, 656 мкм – красного и оранжевого.
Но подумайте: неужели вы сможете ощутить разницу в цвете при переходе на 1 микрометр – от 655,5 мкм (оранжевый цвет) к 656,5 мкм (красный). Конечно, нет.
Размыты не только представления о цветах. Представьте себе, например, множество петухов. Представили? А теперь скажите: относится ли к нему леденцовый петушок на деревянной палоч-ке? Задумались, не так ли? Вот и здесь расплывчатость…
Описанные ситуации типичны. Понятия естественного языка, с помощью которого мы общаемся друг с другом, как правило, размыты.
Нечеткость свойственна не только естественному языку, но и диалектам науки. Возьмем для примера физику. Зададимся во-просом: можно ли указать длину предмета (для определенности в метрах) с точностью до тридцатого знака после запятой? Вещест-во состоит из атомов, атомы из электронов, протонов и нейтро-нов. Можно ли указать абсолютно точно положение электрона? В квантовой механике получен принцип неопределенности: произ-ведение неопределенности в определении импульса частицы на неопределенность в определении ее положения всегда больше вполне определенной величины – постоянной Планка. Импульс электрона в атоме не может достигать сколь угодно высоких зна-чений (импульс – это произведение скорости на массу; скорость не превосходит скорости света, масса электрона известна). Таким образом, неопределенность импульса ограничена. Стало быть, неопределенность в положении электрона всегда больше некото-рой величины – согласно расчетам, примерно 10-10 метра. Иными словами, неустранимая неточность подстерегает нас уже в деся-том знаке после запятой, так что о тридцатом не может быть и речи. Отсюда вывод: длину любого тела следует задавать не од-ним определенным числом, а совокупностью чисел с размытыми границами, т.е. нечетким множеством.
Бытует мнение, что непогрешимой четкостью отличается язык математики. Однако это не так. Например, мы уже не раз употребляли слово «множество». Повторим еще раз, это фунда-ментальное понятие лежит в основе современной математики. Существует математическая теория множеств. Как и во всякой математической теории, все ее положения базируются на системе аксиом. Эту систему можно строить по-разному. Выражаясь язы-ком специалистов, теория множеств может быть аксиоматизиро-вана различными способами. В получающихся при этом разно-видностях теории множеств некоторые выводы оказываются прямо противоположными. Возьмем для примера так называе-мую континуум-гипотезу. При одних аксиоматизациях она верна, при других – верно ее отрицание.
Что же говорить о других менее точных науках? Одному из авторов настоящей работы в свое время пришлось столкнуться с таким любопытным фактом: по определению одной группы ме-диков «затяжное течение острой пневмонии» имеет место в шес-ти случаях из ста, по мнению другой – в шестидесяти. Различие в 10 раз!
В подобных ситуациях возникает естественное желание на-вести четкость в понятиях и представлениях. Однако часто раз-ные группы и даже отдельные лица понимают термины по-своему, например, как в только что приведенном примере с тер-мином «затяжное течение острой пневмонии». Удастся ли дого-вориться? Кроме того, в наведении четкости есть своя мера и своя опасная грань, за которой излишняя четкость становится вредной.
Например, при проведении некоторых социологических и экспертных исследований интересуются мнениями опрашивае-мых, не учитывая, что эти мнения весьма нечетки или еще не сформировались. Вот вопросы одной, взятой наугад, анкеты: «Что прежде всего необходимо вам для счастья? Иметь интерес-ную работу? Пользоваться уважением окружающих? Любить и быть любимым? Иметь много денег? Приносить пользу людям?» Сумеете ли вы с абсолютной уверенностью выбрать одну и толь-ко одну позицию из перечня? Ведь организаторы опроса настаи-вают на четкости. С расчетом на нее обычно и составляются ан-кеты. (Вспомним – ведь и мы, проводя мысленный опрос по по-воду софизма «Куча», запрещали уклоняться от ответа на вопрос: «Это куча?» - и требовали отвечать либо «да», либо «нет».) И оп-рашивающие сами уже стараются сформулировать свое мнение поотчетливее. Однако эти мнения зачастую имеют довольно сла-бую связь с реальными представлениями людей, что порою при-водит к существенным ошибкам в прогнозировании на основе подобных социологических или экспертных данных.
Разумно ли в таких ситуациях добиваться предельной четко-сти? Взвешивая этот вопрос, обратимся еще раз к математике. Как мы видели, даже в ней нет окончательной ясности с некото-рыми важными понятиями. Между тем математики в массе своей применяют эти понятия весьма широко и обычно довольно ус-пешно – эффективность математических методов в самых раз-личных сферах знания и практической деятельности общеизвест-на. Точно также естественный язык используется без особых за-труднений, несмотря на свою нечеткость.
Итак, мы мыслим нечетко, и это нам не мешает. Более того, именно нечеткость мыслей и слов позволяет нам понимать друг друга, приходить к соглашению и действовать совместно. Только представьте, что было бы, если бы постоянно приходилось уточ-нять используемые в разговоре слова! Иногда приходится это де-лать – и тогда появляются огромные тексты договоров и инст-рукций. Стандартная инструкция к мобильному телефону зани-мает больше 200 страниц – кто же ее полностью прочитает, пре-жде чем сделает звонок…
Мы убедились, что, во-первых, мышлению человека органи-чески присуща нечеткость, а во-вторых, эта нечеткость ничуть не зазорна: она естественна. Значит, при разработке математических моделей мышления и поведения человека надо учитывать эту не-четкость – игнорировать ее нельзя! Необходим соответствующий математический аппарат, моделирующий нечеткость восприятия, познания и принятия решений.
Но какие математические понятия следует при этом приме-нять?
В основании современной математики лежит понятие множе-ства. Чтобы задать то или иное конкретное множество предметов (объектов, элементов), надо относительно каждого предмета уметь ответить на вопрос: «Принадлежит данный предмет дан-ному множеству или не принадлежит?» Но мы уже видели, что границы понятий, как правило, размыты, так что четкий ответ на подобный вопрос возможен далеко не всегда. Значит, для описа-ния нечеткости надо взять за основу понятие множества, не-сколько отличающееся от привычного, более широкое, чем оно.

4. Теория нечетких множеств и «нечеткое удвоение» ма-тематики
Чтобы определить нечеткое множество, надо сначала задать совокупность всех тех элементов, для которых имеет смысл гово-рить о мере их принадлежности рассматриваемому нечеткому множеству. Эта совокупность называется универсальным множе-ством. Например, для «кучи» - это множество натуральных чисел, для описания цветов – отрезок шкалы электромагнитных волн, соответствующий видимому свету.
Пусть A - некоторое универсальное множество. Подмножест-во B множества A характеризуется своей характеристической функцией
(1)
Что такое нечеткое множество? Обычно говорят, что нечет-кое подмножество C множества A характеризуется своей функци-ей принадлежности . Значение функции принадлежно-сти в точке х показывает степень принадлежности этой точки не-четкому множеству. Нечеткое множество описывает неопреде-ленность, соответствующую точке х – она одновременно и вхо-дит, и не входит в нечеткое множество С. За вхождение - шансов, за второе – (1- ) шансов.
Если функция принадлежности имеет вид (1) при неко-тором B, то C есть обычное (четкое) подмножество A. Таким об-разом, теория нечетких множество является не менее общей ма-тематической дисциплиной, чем обычная теория множеств, по-скольку обычные множества – частный случай нечетких. Соот-ветственно можно ожидать, что теория нечеткости как целое обобщает классическую математику. Однако позже мы увидим, что теория нечеткости в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым является частью классической математики. Другими словами, по степени общности обычная математика и нечеткая математика эквивалентны. Однако для практического применения в теории принятия решений описание и анализ неопределенностей с помощью теории нечетких мно-жеств весьма плодотворны.
Обычное подмножество можно было бы отождествить с его характеристической функцией. Этого математики не делают, по-скольку для задания функции (в ныне принятом подходе) необ-ходимо сначала задать множество. Нечеткое же подмножество с формальной точки зрения можно отождествить с его функцией принадлежности. Однако термин «нечеткое подмножество» предпочтительнее при построении математических моделей ре-альных явлений.
Теория нечеткости является обобщением интервальной мате-матики (о ней подробнее ниже), в которой для описания реаль-ных объектов вместо чисел используются интервалы. Действи-тельно, функция принадлежности
(2)
задает интервальную неопределенность – про рассматривае-мую величину известно лишь, что она лежит в заданном интерва-ле [a,b]. Тем самым описание неопределенностей с помощью не-четких множеств является более общим, чем с помощью интер-валов.
Начало современной теории нечеткости положено работой 1965 г. американского ученого азербайджанского происхождения Л.А. Заде. Основные определения, алгоритмы расчетов и выра-жающие их свойства теоремы приведены ниже. Рассуждения древнегреческих философов, математиков начала ХХ в. А. Пуан-каре и Э. Бореля обосновывают методологию теорию нечеткости, но как математическая дисциплина она началась с работы Заде. К настоящему времени по теории нечеткости опубликованы тысячи книг и статей, издается несколько международных журналов, вы-полнено достаточно много как теоретических, так и прикладных работ. В нашей стране концепция Заде активно обсуждалась еще в 60-е и 70-е гг. ХХ в. (см. обзор в [7]), однако первая книга рос-сийского автора по теории нечеткости – книга одного из авторов настоящей работы - вышла лишь в 1980 г. [8].
Л.А. Заде рассматривал теорию нечетких множеств как аппа-рат анализа и моделирования гуманистических систем, т.е. сис-тем, в которых участвует человек. Его подход опирается на пред-посылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых переход от «принадлежности» к «непри-надлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В настоящее вре-мя методы теории нечеткости используются почти во всех при-кладных областях, в том числе при управлении предприятием, качеством продукции и технологическими процессами. Нет необ-ходимости связывать теорию нечеткости только с гуманистиче-скими системами.
Л.А. Заде использовал термин «fuzzy set» (нечеткое множест-во). На русский язык термин «fuzzy» переводили как нечеткий, размытый, расплывчатый, и даже как пушистый и туманный. За-де использовал термины «теория нечетких множеств» и «нечет-кая логика». Мы предпочитаем говорить о теории нечеткости. Термин «нечеткая логика» не является синонимом к термину «теория нечеткости», поскольку логика – это наука о мышлении человека, а теория нечеткости применяется не только для моде-лирования мышления. Нечеткая логика – это часть теории нечет-кости.
Аппарат теории нечеткости довольно громоздок. Не будем повторять здесь широко известные определения теоретико-множественных операций над нечеткими множествами. Отметим, что операции над множествами в теории нечеткости раздваива-ются: объединению соответствуют объединение и сумма, пересе-чению – пересечение и произведение.
Некоторые равенства алгебры множеств сохраняются для не-четких множеств, другие же не сохраняются. Так, остаются спра-ведливыми законы де Моргана. Дистрибутивный закон справед-лив, если используются операции пересечения и объединения, и нарушается для операций произведения и суммы [7, 8].
Удвоение математики. Поскольку теория множеств – осно-ва современной математики, понятие нечеткости позволяет «уд-воить математику»: заменяя обычные множества нечеткими, мы можем каждому математическому объекту (понятию, термину) поставить в соответствие его нечеткий аналог. Рассматривают, например, нечеткие классификации, упорядочения, логики, тео-ремы, алгоритмы, правила принятия решений и т.д., и т.п. Чтобы это перечисление не выглядело для неискушенного читателя про-сто набором слов, разберем несколько примеров.
Первым в нашем списке упомянуты классификации. Под классификацией имеется в виду разбиение совокупности элемен-тов на классы – группы сходных между собой элементов [9]. В четкой классификации каждый элемент относится к одному оп-ределенному классу. А в размытой – задается функция принад-лежности элемента различным классам. Расплывчатая классифи-кация обычно больше соответствует реальности, чем строгая.
Представьте себе – идет вам навстречу человек. Лишь в ред-ких случаях вы с уверенностью скажете: «Это блондин». Чаще о цвете волос придется высказаться уклончиво: «Скорее шатен, чем брюнет». Так что, признайтесь, классификация встречных по цве-ту волос у вас нечеткая. Поэтому пушистые классификации надо изучать – этим и занимается соответствующая часть туманной математики.
Пример нечеткого упорядочения нетрудно найти в магазине, присмотревшись к поведению нерешительного покупателя. Надо приобрести часы, да вот какие? И «Слава» нравится, и «Ракета» современна. Другими словами, и «Слава» на сколько-то процен-тов привлекательна, и «Ракета» - тут и появляются функции при-надлежности марок часов к множеству привлекательных. А ведь сравнивать можно по многим критериям – по внешнему виду, по цене, по надежности и т.д. Для каждого критерия – своя туман-ность, нужно эти расплывчатости сводить вместе, чтобы принять решение – покупать или не покупать… А для описания всего это-го надо развивать математическую теорию нечетких упорядоче-ний, принятия расплывчатых решений…
А что такое нечеткая логика? С позиций обычной логики ут-верждения бывают либо истинные, либо ложные. А в размытой логике – утверждения в какой-то степени истинны, а в какой-то – ложны. Присмотритесь к себе – очень многое, что вы говорите и думаете, имеет лишь относительную истинность. Например, вы сказали: «Вчера я хорошо поработал». Сразу возникают вопросы: «А разве нельзя было поработать еще лучше? Что значит – хоро-шо?» Согласитесь: ваши слова истинны не на сто процентов. И подобное можно сказать не только по части житейских высказы-ваний, но и относительно утверждений науки.
Вот, скажем, как выглядит нечеткий аналог теоремы о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке:
«Пусть АВ, ВС и СА – примерно прямые линии, которые об-разуют примерно треугольник с вершинами А, В и С. Пусть М1, М2, М3 – примерно середины сторон ВС, СА и АВ соответствен-но. Тогда примерно прямые линии АМ1, ВМ2 и СМ3 образуют примерно треугольник Т1Т2Т3, который более или менее мал от-носительно треугольника АВС» [10, с.137-138].
Конечно, эта формулировка становится разумной только по-сле того, как будет точно определен смысл слов «примерно» и «более или менее мал». Вот как, скажем, можно уточнить поня-тие «примерно отрезок АВ»: под ним будем понимать любую кривую, проходящую через точки А и В, такую, что расстояние (в обычном смысле) от любой точки кривой до отрезка АВ мало по отношению к длине АВ. Остается выяснить, что значит «мало». Ответ может даваться нечетким множеством со своей функцией принадлежности.
Нечеткие алгоритмы – тоже не экзотика. Многие инструкции в какой-то мере расплывчаты. Беря поваренную книгу, любая хо-зяйка знает: чтобы блюдо удалось, к печатным рецептам надо до-бавить свою интерпретацию, а также смекалку и удачу. Если же поручить роботу готовить суп, то придется нечеткие слова есте-ственного языка определять с помощью функций принадлежно-сти. Например, определить понятие «варить до готовности». Зна-чит, нужна соответствующая математическая теория – теория не-четких алгоритмов.
Продолжать можно без конца. «Удвоение математики» - на-стоятельная необходимость. Однако «скоро сказка сказывается, да нескоро дело делается». Теория нечеткости молода. Всего лишь почти пятьдесят лет! Миг по сравнению с двадцатью пятью веками геометрии!
Польза нечеткости. Несмотря на свою молодость, нечеткая математика находит успешные приложения. Примеры описания неопределенностей с помощью нечетких множеств часто приво-дятся в литературе. Например, в [11] приведено описание поня-тия «богатый человек», разобрана разработка методики ценооб-разования на основе теории нечетких множеств.
Поскольку размытость свойственна самому восприятию и мышлению человека, теория нечеткости используется прежде всего в науках, изучающих эти стороны человеческой натуры: в психологии, в социологии, в исследовании операций… Зачастую в ходе социологических и экспертных опросов человеку легче сформулировать свое мнение расплывчато, а не предельно четко, и размытый ответ является к тому же более адекватным. Поэтому создаются методы сбора и анализа нечеткой информации.
Пример – система управления рыбным промыслом. Исходная информация – сообщения с судов и мнения экспертов. Они не-четки: в таком-то квадрате количество рыбы оценивается вели-чиной между таким-то нижним и таким-то верхним пределами, суда стоит направить туда-то, и т.д. По этим данным согласно ал-горитмам нечеткой математики производится оптимизация в рас-плывчатых условиях. И затем выдается четкий приказ: каким су-дам куда идти. (Результат его выполнения – количество вылов-ленной рыбы – разумеется, нельзя предсказать точно: нечеткость исходной информации не устраняется четкостью приказа.)
Аппарат теории нечеткости оказался полезным в самых раз-ных прикладных областях – в химической технологии и в меди-цине, при управлении движением автотранспорта и в экономиче-ской географии, в теории надежности и при контроле качества продукции.
Группа химиков во главе с академиком В.В. Кафаровым изу-чала процессы, протекающие в ванне стекловаренной печи при производстве листового стекла. Основное при этом – исследовать распределение поля температур в бассейне ванны. Можно это де-лать в классическом стиле, рассматривая дифференциальное уравнение в частных производных, которому удовлетворяет поле температур. Уравнение это можно решить хорошо известным среди специалистов методом Фурье. Но пушистые химики пред-лагают другой подход. В соответствии с ним приращение темпе-ратуры при переходе от одной точки бассейна печи к другой яв-ляется нечетким. Химики рассчитали поле температур размытым методом и сравнили свои результаты с числами, полученными по методу Фурье. Относительное расхождение не превышало 6%, что считается пренебрежимо малым в этой области. Но компью-терные расчеты заняли в 5-6 раз меньше машинного времени.
Парадокс теории нечеткости. В концепции размытости есть свой подход к познанию мира, к построению математиче-ских моделей реальных явлений. Хочется во всем увидеть нечет-кость и смоделировать эту нечеткость подходящим расплывча-тым объектов.
Мы уже рассмотрели много примеров, когда такой подход разумен и полезен. Возникает искушение провозгласить тезис: «Все в мире нечетко». Он выглядит особенно привлекательно в связи с большой вредностью излишней, обманчивой четкости. Но можно ли этот тезис провести последовательно?
Нечеткое множество задается функцией принадлежности. Обратим внимание на аргумент и на значение этой функции. Чет-кие это объекты или размытые? Тезис «все в мире нечетко» на-талкивает на мысль, что они расплывчаты.
Действительно, вспомним примеры – скажем, софизм «Ку-ча». Сначала поговорим про аргумент функции, т.е. про число зе-рен, относительно которых решается вопрос: «Куча это или не куча?» Число зерен в достаточно большой совокупности – разве может оно быть известно абсолютно точно? Как ни считай зерна – вручную, на вес, автоматически – всегда возможны ошибки (человек может ошибиться, автоматические весы измеряют с по-грешностями (описаны в паспорте средства измерения), и даже – могут сломаться…). Или пройдемся по остальным примерам – всюду то же самое.
А теперь – о значении функции принадлежности. Оно уж тем более нечетко! Мнение человека – разве имеет смысл выражать его хотя бы с тремя значащими цифрами? В социологии обще-принято, что человек в словесных оценках обычно не может раз-личить больше трех, в лучшем случае – шести градаций (эти ве-личины вытекают и из математической модели, разработанной в [12]). Отсюда можно вывести с помощью соответствующего рас-чета, что функция принадлежности, отражающее мнение одного человека, может быть определена лишь с точностью 0,17 – 0,33. Так что мнение отдельного лица следовало бы выразить не тон-кой кривой – графиком функции, а довольно широкой полосой. Если же функция принадлежности строится как среднее (среднее арифметическое или медиана) индивидуальных мнений, то и то-гда ее значения известны отнюдь не абсолютно точно из-за того, что опрашиваемая совокупность людей обычно не включает и малой доли тех, кого можно было опросить. И только если значе-ния функции принадлежности определяются по аналитическим формулам, они известны абсолютно точно. Но тогда возникает законный вопрос: насколько обоснованы сами эти формулы? Обычно оказывается, что обоснование у них довольно слабое…
Каков итог? И аргумент, и значение функции принадлежно-сти, как правило, необходимо считать нечеткими.
Что же из этого следует? Начнем опять с аргумента. Он сам является не строго определенной величиной, а некоторым нечет-ким множеством величин, значит, описывается некоторой функ-цией принадлежности – задается каким-то своим аргументом. А этот новый аргумент – он ведь тоже нечеток! Опять появляется функция принадлежности – с каким-то третьим аргументом. И так далее.
Остановимся ли мы когда-либо на этом пути? Если остано-вимся, то должны будем использовать четкие значения аргумента – а это противоречит тезису «все в мире нечетко». В соответствии с эти тезисом четкие значения фиктивны, им ничто в мире не со-ответствует. Если же не остановимся, то получим бесконечную последовательность нечетких моделей, в которой из каждого размытого множества, как из матрешки, вылезает новая расплыв-чатость. Возможны ли при этом обоснованные расчеты?
Далее, значение функции принадлежности также необходимо считать нечетким. Л.А. Заде разработал аппарат пушистых мно-жеств с размытыми функциями принадлежности, благоразумно не вдаваясь при этом в рассуждения о том, на каком же шагу счи-тать функции принадлежности четкой.
Итак, основной парадокс теории нечеткости состоит в том, что привлекательный тезис «все в мире нечетко» невозможно по-следовательно раскрыть в рамках математических моделей. Ко-нечно, описанный парадокс не мешает успешно использовать расплывчатую математику в конкретных приложениях. Из него вытекает лишь необходимость указывать и обсуждать границы ее применимости.


Вернуться наверх
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Системная нечеткая интервальная математика - новая книга
СообщениеДобавлено: Вт мар 25, 2014 2:56 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 7216
Окончание Введения.

5. О сведении теории нечетких множеств к теории слу-чайных множеств
Нечеткость и случайность. С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсужде-ние ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает плотность распределения вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случай-ной величины (или интеграл, если множество возможных значе-ний несчетно) всегда равна 1, а сумма S значений функции при-надлежности (в непрерывном случае — интеграл от функции принадлежности) может быть любым неотрицательным числом. Возникает искушение пронормировать функцию принадлежно-сти, т.е. разделить все ее значения на S (при S 0), чтобы свести ее к распределению вероятностей (или к плотности вероятности). Однако специалисты по нечеткости справедливо возражают про-тив такого «примитивного» сведения, поскольку оно проводится отдельно для каждой размытости (нечеткого множества), и опре-деления обычных операций над нечеткими множествами согла-совать с ним нельзя. Последнее утверждение означает следую-щее. Пусть указанным образом преобразованы функции принад-лежности нечетких множеств А и В. Как при этом преобразуются функции принадлежности АВ, АВ, А + В, АВ? Установить это невозможно в принципе. Последнее утверждение становится со-вершенно ясным после рассмотрения нескольких примеров пар нечетких множеств с одними и теми же суммами значений функ-ций принадлежности, но различными результатами теоретико-множественных операций над ними. Причем и суммы значений соответствующих функций принадлежности для этих результатов теоретико-множественных операций, например, для пересечений множеств, также различны.
В работах по нечетким множествам время от времени ут-верждается, что теория нечеткости самостоятельный раздел при-кладной математики и не имеет отношения к теории вероятно-стей. Некоторые авторы, обсуждавшие взаимоотношения теории нечеткости и теории вероятностей, подчеркивали различие между этими областями теоретических и прикладных исследований. Обычно сопоставляют аксиоматику и сравнивают области при-ложений.
Аргументы при втором типе сравнений не имеют доказа-тельной силы, поскольку по поводу границ применимости даже такой давно выделившейся научной области, как вероятностно-статистические методы, имеются различные мнения. Более того, нет единства мнений об арифметике. Напомним, что итог рассу-ждений одного из наиболее известных французских математиков Анри Лебега по поводу границ применимости арифметики таков: «Арифметика применима тогда, когда она применима» (см. [7, 8]).
При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом разли-чаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указан-ными теориями нельзя установить связь, типа известного сведе-ния евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы R2). Эти две аксиоматики — евклидо-вой геометрии и арифметики — на первый взгляд весьма сильно различаются.
Можно понять желание энтузиастов теории нечеткости под-черкнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи этого подхода с ранее известными.
Проекция случайного множества. Как оказалось, теория нечетких множеств тесно связана с теорией случайных множеств. Еще в 1975 г. доказано (см. [7, 8, 12]), что нечеткие множества естественно рассматривать как «проекции» случайных множеств. Рассмотрим этот метод сведения теории нечетких множеств к теории случайных множеств.
Определение 1. Пусть A = A() — случайное подмножест-во конечного множества Y. Нечеткое множество В, определен-ное на Y, называется проекцией А и обозначается Proj A, если
B(y) = P(y A) (3)
при всех y  Y.
Очевидно, каждому случайному множеству А можно поста-вить в соответствие с помощью формулы (3) нечеткое множество В = Proj A. Оказывается, верно и обратное.
Теорема 1. Для любого нечеткого подмножества В конеч-ного множества Y существует случайное подмножество А множества Y такое, что В = Proj A.
Изучение связи между нечеткими и случайными множества-ми началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата нечетких множеств Л. Заде. Дело в том, что математический аппарат нечетких множеств не позволяет в должной мере учитывать различные варианты зависимости меж-ду понятиями (объектами), моделируемыми с его помощью, т.е. не является достаточно гибким. Так, для описания «общей части» двух нечетких множеств есть лишь две операции — произведе-ние и пересечение. Если применяется первая из них, то фактиче-ски предполагается, что множества ведут себя как проекции не-зависимых случайных множеств. Операция пересечения также накладывает вполне определенные ограничения на вид зависимо-сти между множествами, причем в этом случае найдены даже не-обходимые и достаточные условия [7, 8, 12]. Желательно иметь более широкие возможности для моделирования зависимости между множествами (понятиями, объектами). Использование ма-тематического аппарата случайных множеств предоставляет та-кие возможности.
Цель сведения теории нечетких множеств к теории случай-ных множеств в том, чтобы за любой конструкцией из нечетких множеств увидеть конструкцию из случайных множеств, опреде-ляющую свойства первой, аналогично тому, как за плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. Приведем один из результатов по сведению алгебры нечетких множеств к алгебре случайных множеств.
Теорема 2. Пусть B1, B2, B3, …, Bt — некоторые нечеткие подмножества множества Y из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоре-тико-множественных операций
Bm = ((…((B1 B2) B3) …) Bm–1) Bm, m = 1, 2, …, t,
где — символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведе-ние, объединение, сумма (на разных местах могут стоять раз-ные символы). Тогда существуют случайные подмножества A1, A2, A3, …, At того же множества Y такие, что
ProjAi = Bi, i = 1, 2, …, t,
и, кроме того, результаты теоретико-множественных опера-ций связаны аналогичными соотношениями
Proj{((…((A1  A2)  A3)  Am–1)  Am} = Bm, m = 1, 2, …, t,
где знак  означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения случайных множеств, если в определении Bm стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения случайных множеств, если в Bm стоит символ объединения или символ сум-мы нечетких множеств.

6. Интервальные числа как частный случай нечетких множеств
Интервальное число – это нечеткое множество с функцией принадлежности, заданной формулой (2). Проще говоря, интер-вальное число – это интервал [a, b]. Интервальные числа часто используются для описания результатов измерений, поскольку измерение всегда проводится с некоторой неопределенностью. Прогноз погоды, как и другие прогнозы, дается в виде интервала, например: «Температура завтра днем будет 15 – 17 градусов Цельсия».
Арифметические операции над интервальными числами [a, b] и [c, d] определяются следующим образом:
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d], [a, b] – [c, d] = [a – d+ c, b – c],
[a, b] [c, d] = [ac, bd], [a, b] / [c, d] = [a/d, b/c]
(формулы для умножения и деления приведены в случае положи-тельных чисел a, b, c, d).
Определив арифметические операции, можем по аналогии с обычной математикой проводить различные расчеты, поскольку алгоритмы расчетов представляют собой последовательности арифметических действий.

7. Развитие интервальной математики. «Интервальное удвоение» математики
Первая монография по интервальной математике была опуб-ликована Р.Е. Муром в 1966 г. (практически одновременно с пер-вой статьей Л.А. Заде по нечетким множествам), а на русском языке – Ю.И. Шокиным в 1981 г. В дальнейшем интервальная математика активно развивалась, но не так быстро, как теория нечетких множеств. Исключением является статистика интер-вальных данных, в которой получено много интересных резуль-татов (они приведены в одной из четырех глав монографии [7]), в то время как статистика нечетких данных до сих пор гораздо ме-нее развита и представляет собой в основном результат примене-ния общих подходов статистики объектов нечисловой природы, являющихся элементами пространств произвольного вида [7].
Любую математическую конструкцию, использующую числа, можно обобщить, заменив обычные числа на интервальные. Та-ким образом, применение интервальных чисел позволяет произ-вести «интервальное удвоение» математики. Открывается боль-шое поле для теоретических исследований, имеющих непосред-ственный практический интерес. Вначале основные применения были связаны с автоматическим контролем ошибок округления при вычислениях на ЭВМ. Затем начали учитывать ошибки дис-кретизации численных методов и ошибки в начальных данных. Статистика интервальных данных исходит из модели, согласно которой элементы выборки известны лишь с точностью до «плюс-минус дельта», т.е. выборка состоит из интервалов фикси-рованной длины со случайными концами.
Констатируем необходимость расширения математического аппарата с целью учета присущих реальности нечеткости и ин-тервальности. Такая необходимость отмечалась в ряде публика-ций [35-37], но пока еще не стала общепризнанной. На описании неопределенностей с помощью вероятностных моделей не оста-навливаемся, поскольку такому подходу посвящено множество работ.

8. Система как обобщение множества. Системное обобще-ние математики и задачи, возникающие при этом
В науке принято два основных принципа определения поня-тий:
– через подведение определяемого понятия под более общее понятие и выделение из него определяемого понятия путем ука-зания одного или нескольких его специфических признаков (на-пример, млекопитающие – это животные, выкармливающие сво-их детенышей молоком);
– процедурное определение, которое определяет понятие пу-тем указания пути к нему или способа его достижения (магнит-ный северный полюс – это точка, в которую попадешь, если все время двигаться на север, определяя направление движения с по-мощью магнитного компаса).
Как это ни парадоксально, но понятия системы и множества могут быть определены друг через друга, т.е. трудно сказать, ка-кое из этих понятие является более общим.
Определение системы через множество.
Система есть множество элементов, взаимосвязанных друг с другом, что дает системе новые качества, которых не было у элементов. Эти новые системные свойства еще называются эмерджентными, т.к. не очень просто понять, откуда они берутся. Чем больше сила взаимодействия элементов, тем сильнее свойст-ва системы отличаются от свойств множества и тем выше уро-вень системности и синергетический эффект. Получается, что система – это множество элементов, но не всякое множество, а только такое, в котором элементы взаимосвязаны (это и есть спе-цифический признак, выделяющий системы в множестве), т.е. множество – это более общее понятие.
Определение множества через систему.
Но можно рассуждать и иначе, считая более общим понятием систему, т.е. мы ведь можем определить понятие множества через понятие системы. Множество – это система, в которой сила взаимодействия между элементами равна нулю (это и есть отли-чительный признак, выделяющий множества среди систем). То-гда более общим понятием является система, а множества – это просто системы с нулевым уровнем системности.
Вторая точка зрения объективно является предпочтительной, т.к. совершенно очевидно, что понятие множества является предельной абстракцией от понятия системы и реально в мире существуют только системы, а множеств в чистом виде не су-ществует, как не существует математической точки. Точнее сказать, что множества, конечно, существуют, но всегда исклю-чительно и только в составе систем как их базовый уровень ие-рархии, на котором они основаны.
Из этого вытекает очень важный вывод: все понятия и тео-рии, основанные на понятии множества, допускают обобще-ние путем замены понятия множества на понятие системы и тщательного прослеживания всех последствий этой заме-ны. При этом более общие теории будут удовлетворять принципу соответствия, обязательному для более общих теорий, т.е. в асимптотическом случае, когда сила взаимосвязи элементов систем будет стремиться к нулю, системы будут все меньше от-личаться от множеств и системное обобщение теории перейдет к классическому варианту, основанному на понятии множества. В предельном случае, когда сила взаимосвязи точно равна нулю, системная теория будет давать точно такие же результаты, как основанная на понятии множества.
Этот вывод верен для всех теорий, но в данной работе для ав-торов наиболее интересным и важным является то, что очень многие, если не практически все понятия современной матема-тики основаны на понятии множества, в частности на математи-ческой теории множеств. В частности, к таким понятиям относят-ся понятия:
– математической операции: преобразования одного или не-скольких исходных множеств в одно или несколько результи-рующих;
– функциональной зависимости: отображение множества значений аргумента на множество значений функции для одно-значной функции одного аргумента или отображение множеств значений аргументов на множества значений функций для много-значной функции многих аргументов;
– «количество информации»: функция от свойств множества.
В работе [186] впервые сформулирована и обоснована про-граммная идея системного обобщения математики, суть которой состоит в тотальной замене понятия "множество" на более общее понятие "система" и прослеживании всех последствий этого. При этом обеспечивается соблюдение принципа соответствия, обяза-тельного для более общей теории, т.к. при понижении уровня системности система по своим свойствам становится все ближе к множеству и система с нулевым уровнем системности и есть множество. Приводится развернутый пример реализации этой программной идеи в области теории информации, в качестве ко-торого выступает предложенная в 2002 году системная теория информации [97], являющаяся системным обобщением теории информации Найквиста – Больцмана – Хартли – Шеннона и се-мантической теории информации Харкевича. Основа этой теории состоит в обобщении комбинаторного понятия информации Хартли I = Log2N на основе идеи о том, что количество информа-ции определяется не мощностью множества N, а мощностью сис-темы, под которой предлагается понимать суммарное количество подсистем различного уровня иерархии в системе, начиная с ба-зовых элементов исходного множества и заканчивая системой в целом. При этом в 2002 году, когда было предложено системное обобщение формулы Хартли, число подсистем в системе, т.е. мощность системы Ns, предлагалось рассчитывать по формуле:
.
Соответственно, системное обобщение формулы Хартли для количества информации в системе из n элементов предлагалось в виде:

В работе [270] дано системное обобщение формулы Хартли для количества информации для квантовых систем, подчиняю-щиеся статистике как Ферми-Дирака, так и Бозе-Эйнштейна, и стало ясно, что предложенные в 2002 году в работе [97] выше-приведенные выражения имеют силу только для систем, подчи-няющихся статистике Ферми-Дирака.
В работе [188] кратко описывается семантическая информа-ционная модель системно-когнитивного анализа (СК-анализ), вводится универсальная информационная мера силы и направле-ния влияния значений факторов (независимая от их природы и единиц измерения) на поведение объекта управления (основанная на лемме Неймана – Пирсона), а также неметрический инте-гральный критерий сходства между образами конкретных объек-тов и обобщенными образами классов, образами классов и образ-ами значений факторов. Идентификация и прогнозирование рас-сматривается как разложение образа конкретного объекта в ряд по обобщенным образам классов (объектный анализ), что предла-гается рассматривать как возможный вариант решения на прак-тике 13-й проблемы Гильберта.
В статьях [189, 191] обоснована идея системного обобщения математики и сделан первый шаг по ее реализации: предложен вариант системной теории информации [97, 201]. В данной рабо-те осуществлена попытка сделать второй шаг в этом же направ-лении: на концептуальном уровне рассматривается один из воз-можных подходов к системному обобщению математического понятия множества, а именно – подход, основанный на систем-ной теории информации. Предполагается, что этот подход может стать основой для системного обобщения теории множеств и соз-дания математической теории систем. Сформулированы задачи, возникающие на пути достижения этой цели (разработки систем-ного обобщения математики) и предложены или намечены пути их решения:
Задача 1: найти способ представления системы как совокуп-ности взаимосвязанных множеств.
Задача 2: сформулировать, чем отличаются друг от друга раз-личные системы, состоящие из одних и тех же базисных элемен-тов.
Задача 3: обосновать принципы геометрической интерпрета-ции понятий: "элемент системы" и "система".
Задача 4: предложить способы аналитического описания (за-дания) подсистем как элементов системы.
Задача 5: описать системное семантическое пространство для отображения систем в форме эйдосов (эйдос-пространство).
Задача 6: описать принцип формирования эйдосов (включая зеркальные части).
Задача 7: показать, что базовая когнитивная концепция [97] формализуется многослойной системой эйдос-пространств (тер-мин автора) различных размерностей.
Задача 8: показать, что системная теория информации позво-ляет непосредственно на основе эмпирических данных опреде-лять вид функций принадлежности, т.е. решать одну из основных задач теории нечетких множеств.
Задача 9: сформулировать перспективы: разработка операций с системами: объединение (сложение), пересечение (умножение), вычитание. Привести предварительные соображения по сложе-нию систем.
В данной работе эти варианты решения не приводятся из-за ограниченности ее объема.

9. Системное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов)
В работе [240] рассматривается реализация математической операции объединения систем, являющаяся обобщением опера-ции объединения множеств в рамках системного обобщения тео-рии множеств. Эта операция сходна с операцией объединения булеанов классической теории множеств. Но в отличие от клас-сической теории множеств в ее системном обобщении предлага-ется конкретный алгоритм объединения систем и обосновывается количественная мера системного (синергетического, эмерджент-ного) эффекта, возникающего за счет объединения систем. Для этой меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности Р. Хартли» из-за сходства его математической формы с локальным коэффициентом эмерджентности Хартли и отражающим степень отличия системы от множества её базовых элементов . Приводится ссылка на авторскую программу, реали-зующую предложенный алгоритм и обеспечивающую численное моделирование объединения систем при различных ограничениях на сложность систем и при различной мощности порождающего множества, приводятся некоторые результаты численного моде-лирования.
В работе [241] предлагается общее математическое выраже-ние для количественной оценки системного (синергетического) эффекта, возникающего при объединении булеанов (систем), яв-ляющихся обобщением множества в системном обобщении тео-рии множеств и независящее от способа (алгоритма) образования подсистем в системе. Для этой количественной меры предложено название: «Обобщенный коэффициент эмерджентности Р.Хартли» из-за сходства его математической формы с локаль-ным коэффициентом эмерджентности Хартли, отражающим сте-пень отличия системы от множества его базовых элементов. Для локального коэффициента эмерджентности Хартли также пред-ложено обобщение, независящее от способа (алгоритма) образо-вания подсистем в системе. Приводятся численные оценки сис-темного эффекта при объединении двух систем с применением авторской программы, на которую дается ссылка.

10. Системное обобщение понятия функции и функцио-нальной зависимости. Когнитивные функции. Матрицы зна-ний как нечеткое с расчетной степенью истинности отобра-жение системы аргументов на систему значений функции
Выше кратко рассматривается программная идея системного обобщения понятий математики (в частности теории информа-ции), основанных на теории множеств, путем тотальной замены понятия множества на более содержательное понятие системы и прослеживания всех последствий этого. Частично эта идея была реализована автором при разработке автоматизированного сис-темно-когнитивного анализа (АСК-анализа) [266], математиче-ская модель которого основана на системном обобщении формул для количества информации Хартли и Харкевича [97].
В работе [166] реализуется следующий шаг: предлагается системное обобщение понятия функциональной зависимости, и вводятся термины "когнитивные функции" и "когнитивные чис-ла". На численных примерах показано, что АСК-анализ обеспе-чивает выявление когнитивных функциональных зависимостей в многомерных зашумленных фрагментированных данных.
В работе [140] намечены принципы применения многознач-ных функций многих аргументов для описания сложных систем и предложено матричное представление этих функций.
В работе [218] обсуждается возможность восстановления значений одномерных и двумерных функций как между значе-ниями аргумента (интерполяция), так и за их пределами (экстра-поляция) на основе использования априорной информации о взаимосвязи между признаками аргумента и значениями функ-ции в опорных точках с применением системно-когнитивного анализа и его инструментария – системы «Эйдос». Приводятся численные примеры и визуализация результатов. Предлагается применение аппарата многомерных когнитивных функций для решения задач распознавания и прогнозирования на картографи-ческих базах данных.
В работе [226] на примере решения проблемы управления аг-ропромышленным холдингом рассматривается технология ког-нитивных функций СК-анализа, обеспечивающая как выявление знаний из эмпирических данных, так и использование этих зна-ний для поддержки принятия решений по управлению холдингом в целом на основе управления характеристиками входящих в него предприятий.
В работе [235] рассматривается применение метода автомати-зированного системно-когнитивного анализа и его программного инструментария – системы «Эйдос» для выявления причинно-следственных зависимостей из эмпирических данных. В качестве инструментария для формального представления причинно-следственных зависимостей предлагаются когнитивные функции.
Когнитивные функции представляют собой многозначные интервальные функции многих аргументов, в которых различные значения функции в различной степени соответствуют различ-ным значениям аргументов, причем количественной мерой этого соответствия выступает знание, т.е. информация о причинно-следственных зависимостях в эмпирических данных, полезная для достижения целей.
В работе [239] на основе применения аппарата когнитивных функций впервые исследована зависимость параметров движения полюса Земли от положения небесных тел Солнечной системы. В последующем эти результаты развиты в монографии [108].
Наиболее полно метод визуализации когнитивных функ-ций, как новый инструмент исследования эмпирических данных большой размерности, раскрыт в работе [243].
В работе [244] рассматривается новая версия системы искус-ственного интеллекта «Эйдос-астра» для решения прикладных задач с эмпирическими данными большой размерности. Прило-жение, написанное на языке JAVA, обеспечивает GUI (графиче-ский интерфейс пользователя) и позволяет подготовить и выпол-нить визуализацию матрицы знаний без ограничений, налагаемых реализацией предыдущих версий системы «Эйдос-астра». Отме-тим, что в системе Эйдос-Х++ все эти ограничения на размер-ность моделей также сняты в универсальной форме, не зависящей от предметной области.
В работе [254] рассмотрена глубокая взаимосвязь между тео-рией автоматизированного и автоматического управления и сис-темно-когнитивным анализом и его программным инструмента-рием – системой «Эйдос» в их применении для интеллектуально-го управления сложными системами. Предлагается технология, позволяющая на практике реализовать интеллектуальное автома-тизированное и даже автоматическое управление такими объек-тами управления, для которых ранее управление реализовалось лишь на слабоформализованном уровне, как правило, без приме-нения математических моделей и компьютеров. К таким объек-там управления относятся, например, технические системы, штатно качественно-изменяющиеся в процессе управления, био-логические и экологические системы, социально-экономические и психологические системы. Намечены возможности получения когнитивных передаточных функций сложных многопарамет-рических нелинейных объектов управления на основе зашумлен-ной фрагментированной эмпирической информации об их факти-ческом поведении под действием различных сочетаний значений факторов различной природы.
Ясно, что если величина интервала будет стремиться к нулю, то интервальные функции, к которым относятся и когнитивные функции, будут асимптотически приближаться к абстрактным математическим функциям, которые можно считать интерваль-ными функциями с нулевой величиной интервала. Поэтому ин-тервальная математика может рассматриваться как более общая, чем точная и для нее выполняется известный принцип соответ-ствия , обязательный для более общих теорий.
В когнитивных функциях, представленных на рис. 1, цветом отображено количество информации в интервальном значении аргумента об интервальном значении функции. Или выражаясь точнее, цветом отображено количество информации в интер-вальном значении аргумента о том, что (при этом значении аргу-мента) функция примет определенное интервальное значение. Или еще точнее, цветом отображено количество информации о том, что при значении аргумента, попадающем в данный интер-вал, функция примет определенное значение, попадающее в со-ответствующий интервал.
Из рис. 1 мы видим, что об одних значениях функции в зна-чениях аргумента содержится больше информации, а о других меньше. Это значит, что различные значения аргумента с разной степенью определенности обуславливают соответствующие значения функции. Иначе говоря, зная одни значения аргумента, мы весьма определенно можем сказать о соответствующем зна-чении функции, а по другим значениям мы можем судить о зна-чении функции лишь приблизительно, т.е. с гораздо большей по-грешностью или неопределенностью.
Таким образом, когнитивная функция содержит информа-цию не только о соответствии значений функции значениям ар-гумента, как абстрактная математическая функция, но и о достоверности высказывания о том, что именно такое их соот-ветствие имеет место в действительности, причем эта досто-верность меняется от одних значений аргумента и функции к другим.
Получается, что в каждом значении аргумента содержится определенная информация о каждом значении функции. Эта ин-формация может быть больше или меньше, она может быть по-ложительная или отрицательная, т.е. в когнитивной функции ка-ждому значению аргумента соответствуют все значения функ-ции, но в различной степени. Из этого следует также, что каждое значение функции обуславливается различными значениями аргу-мента, но каждое из них обусловливает это значение в различ-ной степени. Поэтому когнитивные функции являются много-значными функциями многих аргументов.
Это понятие напоминает доверительный интервал, но с той разницей, что доверительный интервал всегда растет со значени-ем аргумента, а количество информации может и возрастать, и уменьшаться. Если осуществляется интерполяция или прогноз значения когнитивной функции, то при этом одновременно опре-деляется и достоверность этой интерполяции или этого прогно-за. На когнитивной функции эта достоверность представлена в форме полупрозрачной полосы, ширина которой обратно про-порциональна достоверности (как в доверительном интервале), т.е. чем точнее известно значение функции, тем уже полоса, и чем оно более неопределенно, тем она шире.
В теоретической математике нет меры причинно-следственной связи. Математика оперирует абстрактными поня-тиями, а понятие причинно-следственной связи является содер-жательным понятием, относящимся к конкретной изучаемой, в том числе и эмпирически, предметной области. Математические понятия функциональной зависимости или корреляция не явля-ются такой мерой. Правда, в статистике есть критерий хи-квадрат, который действительно является мерой причинно-следственной связи, но статистика специально разработана с це-лью изучения конкретных явлений и этим существенно отличает-ся от абстрактной теоретической математики.
Мы рассматриваем числовые и лингвистические данные, как сырые данные, полученные непосредственно из опыта и еще не подвергнутые какой-либо обработке. Эти эмпирические данные могут быть преобразованы в информацию путем их анализа. Ин-формация есть осмысленные данные. Смысл согласно концепции смысла Шешка-Абельсона, которой мы придерживаемся, пред-ставляет собой знание причинно-следственных зависимостей. Причинно-следственные зависимости возможны только между событиями, а не между данными. Поэтому анализ данных, в ре-зультате которого они преобразуются в информацию, включает два этапа:
– нахождение событий в данных;
– выявление причинно-следственных связей между события-ми.
Знания представляют собой информацию, полезную для дос-тижения цели. Если такой целью является решение задач прогно-зирования, принятия решений и исследования моделируемой предметной области путем исследования ее модели (это коррект-но, если модель адекватна), то информационная модель является и когнитивной моделью, т.е. интеллектуальной моделью или мо-делью знаний.
Поэтому когнитивные функции являются наглядным графи-ческим отображение наших знаний о причинно-следственных связях между интервальными или лингвистическими значениями аргумента и интервальными или лингвистическими значениями функции.
Когнитивные функции представляют собой графическое ото-бражение сечений многомерного эйдос-пространства (базы зна-ний) системы «Эйдос-Х++» плоскостями, содержащими заданные описательные и классификационные шкалы с фактически имею-щимися у них интервальными значениями (градациями).
Рассмотрим с позиций теории информации, чем отличаются когнитивные функции от абстрактных математических функ-ций. Формально по точному значению аргумента любой абст-рактной математической функции возможно точно узнать ее точное значение. Но на практике это возможно лишь тогда, когда и значения аргумента, и значения функции являются целыми числами. Если же они являются иррациональными числами, то совершенно ясно, что точное их значение никогда не может быть ни вычислено на любом компьютере с ограниченной вычисли-тельной мощностью, ни записано, ни на каких носителях с огра-ниченной информационной емкостью, ни передано ни по каким каналам связи с ограниченной пропускной способностью. Поэто-му точное знание значения иррациональной функции означает доступ к бесконечному количеству информации. На практике же мы, конечно, всегда имеем дело с ограниченной точностью или знаем значения функции с некоторой погрешностью, т.е. опери-руем конечным количеством информации в значениях аргумента о значениях функции. Но каким именно количеством информа-ции? До разработки математического аппарата и программного инструментария когнитивных функций это вопрос как-то ребром не ставился и был в тени приоритетных направлений исследова-ний. Ответом на это вопрос и является теория когнитивных функций, где каждому значению аргумента соответствует не только значение функции, но и количество информации в би-тах, содержащееся в этом значении аргумента о том, что ему соответствует данное значение функции. В оцифрован-ных аудио, видео и других сигналах мы всегда знаем глубину ко-дирования, а значит и количество информации в значении аргу-менте о значении функции. В любых таблицах и базах данных числа всегда представлены с ограниченным числом знаков после запятой, а значит само множество таких чисел ограничено, и все-гда можно посчитать, какие количество информации содержится в факте выборки как-то одного конкретного из этих чисел. На-пример, в известной таблице Брадиса приводится 4 знака значе-ния синуса после запятой. Это значит, что определенному углу (от 0 до 90°) соответствует одно из 9999 значений. По формуле Хартли получаем: I=Log2N=Log29999~13.29 бит.
Разработаны нередуцированные, частично и полностью реду-цированные прямые и обратные когнитивные функции, а также программный инструментарий для их расчета (сама система Эй-дос-Х++) и визуализации [40]. Однако в данной работе не целе-сообразно их рассматривать, т.к. этому посвящены работы [24, 27-30] и ряд других.

11. Модификация метода наименьших квадратов при ап-проксимации когнитивных функций
Предлагается модификация метода наименьших квадратов для аппроксимации когнитивных функций, в котором точки имеют вес, равный количеству информации в значении аргумен-та о значении функции. Для упрощения можно рассматривать точки когнитивных функций как «мультиточки», состоящие из определенного количества «элементарных точек», соответст-вующего их весу. Другой вариант состоит в том, что перед при-менением стандартного МНК для каждого значения аргумента рассчитывается средневзвешенное значение функции из всех с их весами. В модуле визуализации когнитивных функций [40] этот метод реализован программно для отображения частично и пол-ностью редуцированных когнитивных функций. Математическо-му описанию этого метода планируются посвятить одну из буду-щих статей авторов.
12. Развитие идеи системного обобщения математики в области теории информации. Системная (эмерджентная) тео-рия информации (СТИ)
Простейшая комбинаторная количественная мера информа-ции по Хартли рассчитывается как логарифм от числа элементов множества N:
.
В 2002 году у автора [97] возникла простая мысль о том, что если рассматривать как элементы множества не только его эле-менты по одному, как у Хартли, но и подсистемы, состоящие из 2, 3, …, N элементов, то формулу Хартли легко обобщить, придав ей вид, учитывающий наличие подсистем:
.
Аналогично обобщаются и другие количественные меры информации, в частности Шеннона и Харкевича, и в результате получается вариант теории информации, органично приспособ-ленный для учета как обычной (классической), так и системной информации.

13. Информационные меры уровня системности – коэф-фициенты эмерджентности
В работе [97] и работе [170] предлагаются теоретически обоснованные количественные меры, следующие из системной теории информации (СТИ), которые позволяют количественно оценивать влияние факторов на системы различной природы не по силе и направлению изменения состояния системы, а по сте-пени возрастания или уменьшения ее эмерджентности (уровня системности) и степени детерминированности.
В работе [253] на простом численном примере рассматрива-ется применение автоматизированного системно-когнитивного анализа (АСК-анализ) и его программного инструментария – ин-теллектуальной системы «Эйдос» для выявления и исследования детерминации эмерджентных макросвойств систем их составом и иерархической структурой, т.е. подсистемами различной сложно-сти (уровней иерархии). Кратко обсуждаются некоторые методо-логические вопросы создания и применения формальных моде-лей в научном познании. Предложены системное обобщение принципа Уильяма Росса Эшби о необходимом разнообразии на основе системного обобщения теории множеств и системной тео-рии информации, обобщенная формулировка принципа относи-тельности Галилея-Эйнштейна, высказана гипотеза о его взаимо-связи с теоремой Эмми Нётер, а также предложена гипотеза «О зависимости силы и направления связей между базовыми элемен-тами системы и ее эмерджентными свойствами в целом от уровня иерархии в системе»
В [270] предложены коэффициенты эмерджентности, приме-нимые для систем, подчиняющихся классической или квантовой статистике. Дан алгоритм оценки уровня системности квантовых объектов. Рассмотрены квантовые системы, подчиняющиеся ста-тистике Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, а также классические системы, подчиняющиеся статистике Максвелла-Больцмана. Ус-тановлено, что коэффициенты эмерджентности квантовых и классических систем отличаются между собой, как и коэффици-енты квантовых систем ферми-частиц и бозе-частиц. Следова-тельно, коэффициент эмерджентности позволяет отличить клас-сическую систему от квантовой системы, а квантовую систему ферми-частиц от квантовой системы бозе-частиц. Установлено также, что предложенные ранее в ряде работ, начиная с [97], раз-личные варианты коэффициентов эмерджентности Хартли рас-пространяются только на системы, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака.

14. Прямые и обратные, непосредственные и опосредо-ванные правдоподобные логические рассуждения с расчетной степенью истинности
Одним из первых ученых, поднявших и широко обсуждав-шим в своих работах проблематику правдоподобных рассужде-ний, был известный венгерский, швейцарский и американский математик Дьердь Пойа , книги которого одному из авторов (то-му, который потом стал профессором Е.В.Луценко) подарил еще в школе его учитель математики Михаил Ильич Перевалов (см. также в книге: Д. Пойа «Формализация логики правдоподобных рассуждений», глава третья, параграф 7, с.158-163, исходящий из (репрезентативной) теории измерений).
В работе [97] предложена логическая форма представления правдоподобных логических рассуждений с расчетной степенью истинности, которая определяется в соответствии с системной теорией информацией непосредственно на основе эмпирических данных.
В качестве количественной меры влияния факторов, предло-жено использовать обобщенную формулу А.Харкевича, получен-ную на основе предложенной эмерджентной теории информации. При этом непосредственно из матрицы абсолютных частот рас-считывается база знаний (табл.1), которая и представляет собой основу содержательной информационной модели предметной об-ласти.
Весовые коэффициенты табл.1 непосредственно определяют, какое количество информации Iij система управления получает о наступлении события: "активный объект управления перейдет в j–е состояние", из сообщения: "на активный объект управления действует i–й фактор".
Принципиально важно, что эти весовые коэффициенты не определяются экспертами неформализуемым способом на основе интуиции и профессиональной компетенции (т.е., мягко говоря, «на глазок»), а рассчитываются непосредственно на основе эмпи-рических данных и удовлетворяют всем ранее обоснованным в работе [97] требованиям, т.е. являются сопоставимыми, содержа-тельно интерпретируемыми, отражают понятия "достижение це-ли управления" и "мощность множества будущих состояний объ-екта управления" и т.д.
В [97] обосновано, что предложенная информационная мера обеспечивает сопоставимость индивидуальных количеств ин-формации, содержащейся в факторах о классах, а также сопоста-вимость интегральных критериев, рассчитанных для одного объ-екта и разных классов, для разных объектов и разных классов.
Когда количество информации Iij>0 – i–й фактор способству-ет переходу объекта управления в j–е состояние, когда Iij<0 – препятствует этому переходу, когда же Iij=0 – никак не влияет на это. В векторе i–го фактора (строка матрицы информативностей) отображается, какое количество информации о переходе объекта управления в каждое из будущих состояний содержится в том факте, что данный фактор действует. В векторе j–го состояния класса (столбец матрицы информативностей) отображается, ка-кое количество информации о переходе объекта управления в со-ответствующее состояние содержится в каждом из факторов.
Таким образом, матрица информативностей матрица инфор-мативностей является обобщенной таблицей решений, в которой входы (факторы) и выходы (будущие состояния активного объек-та управления (АОУ) связаны друг с другом не с помощью клас-сических (Аристотелевских) импликаций, принимающих только значения: "Итина" и "Ложь", а различными значениями истин-ности, выраженными в битах и принимающими значения от положительного теоретически-максимально-возможного ("Мак-симальная степень истинности"), до теоретически неограничен-ного отрицательного ("Степень ложности").
Фактически предложенная модель позволяет осуществить синтез обобщенных таблиц решений для различных предметных областей непосредственно на основе эмпирических исходных данных и продуцировать на их основе прямые и обратные прав-доподобные (нечеткие) логические рассуждения по неклассиче-ским схемам с различными расчетными значениями истинности, являющимся обобщением классических импликаций.
Более сложные правдоподобные опосредованные высказыва-ния могут быть рассчитаны непосредственно на основе матрицы информативностей – обобщенной таблицы решений.
Если A, со степенью истинности (A,B), детерминирует B, и если С, со степенью истинности (C,D), детерминирует D, и A совпадает по смыслу с C со степенью истинности (A,C), то это вносит вклад в совпадение B с D, равный степени истинности (B,D).
При этом в прямых рассуждениях как предпосылки рассмат-риваются факторы, а как заключение – будущие состояния АОУ, а в обратных – наоборот: как предпосылки – будущие состояния АОУ, а как заключение – факторы. Степень истинности i-й пред-посылки – это просто количество информации Iij, содержащейся в ней о наступлении j-го будущего состояния АОУ. Если предпо-сылок несколько, то степень истинности наступления j-го состоя-ния АОУ равна суммарному количеству информации, содержа-щемуся в них об этом. Количество информации в i-м факторе о наступлении j-го состояния АОУ, рассчитывается в соответствии с выражениями системной теории информации (СТИ).
Прямые правдоподобные логические рассуждения позволяют прогнозировать степень достоверности наступления события по действующим факторам, а обратные – по заданному состоянию восстановить степень необходимости и степень нежелательности каждого фактора для наступления этого состояния, т.е. прини-мать решение по выбору управляющих воздействий на АОУ, оп-тимальных для перевода его в заданное целевое состояние.
Необходимо отметить, что предложенная модель, основы-вающаяся на теории информации, обеспечивает автоматизиро-ванное формирования системы нечетких правил по содержимому входных данных, как и комбинация нечеткой логики Заде-Коско с нейронными сетями Кохонена. Принципиально важно, что ка-чественное изменение модели путем добавления в нее новых классов не уменьшает достоверности распознавания уже сформи-рованных классов. Кроме того, при сравнении распознаваемого объекта с каждым классом учитываются не только признаки, имеющиеся у объекта, но и отсутствующие у него, поэтому пред-ложенной моделью правильно идентифицируются объекты, при-знаки которых образуют множества, одно из которых является подмножеством другого (как и в Неокогнитроне К.Фукушимы).

15. Интеллектуальная система Эйдос-Х++ как инструмен-тарий, реализующий идеи системного нечеткого интерваль-ного обобщения математики
Система «Эйдос» за многие годы применения хорошо пока-зала себя при проведении научных исследований в различных предметных областях и занятий по ряду научных дисциплин, свя-занных с искусственным интеллектом, представлениями знаний и управлению знаниями [224]. Однако в процессе эксплуатации системы были выявлены и некоторые недостатки, ограничиваю-щие возможности и перспективы применения системы. Поэтому создана качественно новая версия системы (система Эйдос-Х++), в которой преодолены ограничения и недостатки предыдущей версии и реализованы новые важные идеи по ее развитию и при-менению в качестве программного инструментария системно-когнитивного анализа (СК-анализ) [260].
Авторы считают, что система Эйдос-Х++ является программ-ным инструментарием, реализующим ряд идей системного не-четкого интервального обобщения математики.
Таким образом, в монографии кратко рассмотрены перспек-тивы и некоторые «точки роста» современной теоретической и вычислительной математики, в частности: числа и множества - основа современной математики; математические, прагматиче-ские и компьютерные числа; от обычных множеств - к нечетким; теория нечетких множеств и «нечеткое удвоение» математики; о сведении теории нечетких множеств к теории случайных мно-жеств; интервальные числа как частный случай нечетких мно-жеств; развитие интервальной математики (интервальное удвое-ние математики); система как обобщение множества; системное обобщение математики и задачи, возникающие при этом; систем-ное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов); системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости; когнитивные функции; матрицы знаний как нечеткое с расчетной степенью истинности отображе-ние системы аргументов на систему значений функции; модифи-кация метода наименьших квадратов при аппроксимации когни-тивных функций; развитие идеи системного обобщения матема-тики в области теории информации - системная (эмерджентная) теория информации; информационные меры уровня системности - коэффициенты эмерджентности; прямые и обратные, непосред-ственные и опосредованные правдоподобные логические рассуж-дения с расчетной степенью истинности; интеллектуальная сис-тема Эйдос-Х++ как инструментарий, реализующий идеи сис-темного нечеткого интервального обобщения математики.
Отметим, что нумерация формул, рисунков и таблиц везде по тексту, где это специально не оговорено, ведется внутри разде-лов. При необходимости ссылки на формулу, рисунок или табли-цу в другом разделе в тексте будет об этом прямо упомянуто, на-пример: «используя выражение (3) из раздела 4.2» и т.д.
Кроме того необходимо отметить, что данная монография представляет собой обобщающую работу, подводящую своеоб-разный итог по двум научным направлениям [92]:
- «Статистика объектов нечисловой природы» (предложено и разработано проф. А.А. Орловым)
- «Автоматизированный системно-когнитивный анализ (АСК-анализ)» (предложено и разработано проф. Е.В.Луценко).
Развитием этих научных направлений авторы занимаются и в настоящее время. Поэтому просим читателей правильно понять большое количество ссылок авторов на собственные работы.
Некоторые мысли, излагаемые в монографии, носят спорный и дискуссионный характер и высказаны в порядке научного обсуждения.

http://www.bmstu.ru/ps/~orlov/fileman/l ... 0%B8%D1%8F


Вернуться наверх
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Системная нечеткая интервальная математика - новая книга
СообщениеДобавлено: Пт май 02, 2014 5:03 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 7216
Монография размещена в РИНЦ:

http://elibrary.ru/item.asp?id=21358220


Вернуться наверх
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Часовой пояс: UTC + 3 часа


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Русская поддержка phpBB