Высокие статистические технологии

Форум сайта семьи Орловых

Текущее время: Сб мар 30, 2024 10:11 am

Часовой пояс: UTC + 3 часа




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Философия математики - 2013
СообщениеДобавлено: Пт сен 27, 2013 10:11 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 11265
829. Орлов А.И. О новой парадигме прикладной математики // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / Редкол.: Бажанов В.А. и др. – Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013. – С.84–87.


Орлов Александр Иванович, д.т.н., д.э.н., к.ф.-м.н., профессор
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Московский физико-технический институт,
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения»

О новой парадигме прикладной математики

Философские предпосылки разработки математических методов и моделей в той или иной прикладной области (в экономике и управлении (менеджменте), при прогнозировании и предотвращении авиационных происшествий, управлении рисками при создании ракетно-космической техники и т.п.) заслуживают обсуждения. В докладе [1] мы исходили из того, что предназначенные для практического использования математические модели и основанные на них методы должны быть устойчивы к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей. Требование устойчивости касается математических моделей, но само находится вне математики. Оно навязывается математикам извне. И достаточно сильно меняет оценку целесообразности тех или иных исследований.
Обратим внимание на смену парадигм (в смысле Т. Куна [2]) в прикладной математике. Рассмотрим новую (XXI в.) парадигму математических методов исследования в сравнении со старой (середины XX в.). Основное внимание уделим вероятностно-статистическим методам исследования, методам анализа данных.
Во второй половине 1980-х гг. развернулось общественное движение по созданию профессионального объединения специалистов в области организационно-экономического и экономико-математического моделирования, эконометрики и статистики (кратко – статистиков). Аналоги - британское Королевское статистическое общество (основано в 1834 г.) и Американская статистическая ассоциация (создана в 1839 г.). В ходе организации ВСА были проанализированы состояние и перспективы развития рассматриваемой области научно-прикладных исследований и осознаны основы уже проявившейся к концу 1980-х гг. новой парадигмы прикладной математики, прежде всего в области организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики.
Типовые исходные данные в новой парадигме – объекты нечисловой природы (элементы нелинейных пространств, которые нельзя складывать и умножать на число, например, множества, бинарные отношения), а в старой – числа, конечномерные векторы, функции. Ранее для расчетов использовались разнообразные суммы, однако объекты нечисловой природы нельзя складывать, поэтому в новой парадигме применяется другой математический аппарат, основанный на расстояниях между объектами нечисловой природы и решении задач оптимизации.
Изменились постановки задач анализа данных и экономико-математического моделирования. Старая парадигма математической статистики исходит из идей начала ХХ в., когда К. Пирсон предложил четырехпараметрическое семейство распределений для описания распределений реальных данных. В это семейство как частные случаи входят, в частности, подсемейства нормальных, экспоненциальных, Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений. Сразу было ясно, что распределения реальных данных, как правило, не входят в семейство распределений Пирсона (об этом говорил, например, академик С.Н. Бернштейн в 1927 г. в докладе на Всесоюзном съезде математиков). Однако математическая теория параметрических семейств распределений (методы оценивание параметров и проверки гипотез) оказалась достаточно интересной, и именно на ней до сих пор основано преподавание во многих вузах. Итак, в старой парадигме основной подход к описанию данных - распределения из параметрических семейств, а оцениваемые величины – их параметры, в новой парадигме рассматривают произвольные распределения, а оценивают - характеристики и плотности распределений, зависимости, правила диагностики и др. Центральная часть теории – уже не статистика числовых случайных величин, а статистика в пространствах произвольной природы, т.е. нечисловая статистика [3].
В старой парадигме источники постановок новых задач - традиции, сформировавшиеся к середине ХХ века, а в новой - современные потребности анализа данных (XXI век), т.е. запросы практики. Конкретизируем это общее различие. В старой парадигме типовые результаты - предельные теоремы, в новой - рекомендации для конкретных объемов выборок. Изменилась роль информационных технологий – ранее они использовались только для расчета таблиц (информатика находилась вне математической статистики), теперь же они - инструменты получения выводов (датчики псевдослучайных чисел, методы размножение выборок, в т.ч. бутстреп, и др.). Вид постановок задач приблизился к потребностям практики – от отдельных задач оценивания и проверки гипотез перешли к статистическим технологиям (технологическим процессам анализа данных). Выявилась важность проблемы «стыковки алгоритмов» - влияния выполнения предыдущих алгоритмов в технологической цепочке на условия применимости последующих алгоритмов. В старой парадигме эта проблема не рассматривалась, для новой – весьма важна.
Если в старой парадигме вопросы методологии моделирования практически не обсуждались, достаточными признавались схемы начала ХХ в., то в новой парадигме роль методологии (учения об организации деятельности) является основополагающей. Резко повысилась роль моделирования – от отдельных систем аксиом произошел переход к системам моделей. Сама возможность применения вероятностного подхода теперь – не «наличие повторяющегося комплекса условий» (реликт физического определения вероятности, использовавшегося до аксиоматизации теории вероятностей А.Н. Колмогоровым в 1930-х гг.), а наличие обоснованной вероятностно-статистической модели. Если раньше данные считались полностью известными, то для новой парадигмы характерен учет свойств данных, в частности, интервальных и нечетких. Изменилось отношение к вопросам устойчивости выводов – в старой парадигме практически отсутствовал интерес к этой тематике, в новой разработана развитая теория устойчивости (робастности) выводов по отношению к допустимым отклонениям исходных данных и предпосылок моделей.
Выполнена рекомендация Учредительного съезда ВСА по созданию комплекта учебной литературы на основе новой парадигмы. Перечень изданий приведен в [4]. Предстоит большая работа по внедрению новой парадигмы прикладной математики в научные исследования и преподавание.

Литература
1. Орлов А.И. Философские основания устойчивого математического моделирования процессов управления промышленными предприятиями. - Философия математики: актуальные проблемы: Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. – М.: МАКС Пресс, 2009. – С.284-287.
2. Кун. Т. Структура научных революций. – М.: АСТ, 2009. – 317 с.
3. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование. Ч.1. Нечисловая статистика. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009.
4. Орлов А.И. Новая парадигма организационно-экономического моделирования, эконометрики и статистики // Вторые Чарновские Чтения. Материалы II международной научной конференции по организации производства. Москва, 7 – 8 декабря 2012 г. М.: НП «Объединение контроллеров», 2012. С. 116-120.


Вернуться наверх
 Профиль  
 
 Заголовок сообщения: Re: Философия математики - 2013
СообщениеДобавлено: Пт сен 27, 2013 10:11 pm 
Не в сети

Зарегистрирован: Вт сен 28, 2004 11:58 am
Сообщений: 11265
830. Орлов А.И., Луценко Е.В. О развитии системной нечеткой интервальной математики // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. / Редкол.: Бажанов В.А. и др. – Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013. – С.190–193.


Орлов Александр Иванович, д.т.н., д.э.н., к.ф.-м.н., профессор
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Московский физико-технический институт,
ФГУП «Центральный научно-исследовательский институт машиностроения»
Луценко Евгений Вениаминович, д.э.н., к.т.н., профессор
Кубанский государственный аграрный университет

О развитии системной нечеткой интервальной математики

Кратко рассмотрим перспективы и некоторые «точки роста» современной теоретической и вычислительной математики. По нашему мнению, сложившиеся понятия и теории должны быть модернизированы для адекватного отражения запросов прикладных научных исследований.
С достаточным основанием можно констатировать, что числа и множества - основа современной математики. Однако вопросы применения этих понятий заслуживают обсуждения.
Необходимо различать математические, прагматические и компьютерные числа, поскольку их свойства различны. Первые традиционно используются в математике. Их бесконечно много. Вторые получают при записи результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов). Прагматических чисел – конечное число, как и компьютерных (поскольку существует компьютерный нуль). Тождества для математических чисел не всегда выполняются для прагматических. Расходящийся ряд математических чисел может превратиться в сходящийся для компьютерных.
Не останавливаясь на проблемах аксиоматизации наивной теории множеств («парадокс брадобрея», теоремы Геделя и др.), отметим, что границы реальных совокупностей зачастую размыты. Этот факт был известен еще в Древней Греции (парадокс «Куча»). Э. Борель предложил описывать реальные совокупности функциями принадлежности, а Л. Заде и его последователи развили математический аппарат теории нечетких (размытых, расплывчатых, туманных, пушистых) множеств. Возникла возможность «нечеткого удвоения» математики: заменяя обычные числа и множества на нечеткие, получаем новые математические объекты (например, нечеткие классификации, т.е. нечеткие аналоги отношений эквивалентности), некоторые свойства которых отличаются от свойств исходных объектов. Доказан цикл теорем [1] о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств, однако при математическом моделировании реальных явлений и процессов теория нечеткости и теория вероятностей обычно рассматриваются как различные математические теории, со своим специфическим инструментарием.
Интервальное число является частным случаем нечеткого множества (с функцией принадлежности, равной 1 внутри некоторого интервала и равной 0 вне его). С 1960-х годов бурно развивалась интервальная математика (и интервальная математическая статистика [2]). Заменяя обычные числа интервальными, получаем возможность создавать «интервальное удвоение» математики. В интервальной математической статистике получены результаты (связанные с понятиями нотны и рационального объема выборки), которым нет аналогов в «обычной» математической статистике [2].
Система есть множество элементов, взаимосвязанных друг с другом, что дает системе новые качества, которых не было у элементов. Множество – это система, в которой сила взаимодействия между элементами равна нулю. Следовательно, все понятия и теории, основанные на понятии множества, допускают обобщение путем замены понятия множества на понятие системы и тщательного прослеживания всех последствий этой замены. Другими словами, возможно системное обобщение математики. При этом возникают различные интересные задачи. Отметим системное обобщение операций над множествами (на примере операции объединения булеанов); системное обобщение понятия функции и функциональной зависимости.
Важным для приложения является понятие когнитивной функции. Такая функция содержит информацию не только о соответствии значений функции значениям аргумента, как абстрактная математическая функция, но и о достоверности высказывания о том, что именно такое их соответствие имеет место в действительности, причем эта достоверность меняется от одних значений аргумента и функции к другим. Когнитивные функции являются наглядным графическим отображение наших знаний о причинно-следственных связях между интервальными или лингвистическими значениями аргумента и интервальными или лингвистическими значениями функции. Разработаны теоретические основы и программное обеспечение системно-когнитивного анализа [3].
Введено и изучено понятие матрицы знаний как нечеткого (с расчетной степенью истинности) отображения системы аргументов на систему значений функции. Разработана модификация метода наименьших квадратов при аппроксимации когнитивных функций. Развита идея системного обобщения математики в области теории информации - системная (эмерджентная) теория информации. Введены информационные меры уровня системности - коэффициенты эмерджентности. Как обобщение теории правдоподобных рассуждений Д.Пойа рассмотрены прямые и обратные, непосредственные и опосредованные правдоподобные логические рассуждения с расчетной степенью истинности.
Объединяя различные рассмотренные выше направления обобщения классических основ математики, получаем теорию, которую естественно назвать системной нечеткой интервальной математикой (СНИМ).
В программной системе «Эйдос» был реализован ряд разделов СНИМ. За более чем 30 лет применения эта система хорошо показала себя при проведении научных исследований в различных предметных областях и занятий по ряду научных дисциплин, связанных с искусственным интеллектом, представлениями знаний и управлением знаниями [4]. Однако в процессе эксплуатации системы были выявлены и некоторые недостатки. Поэтому создана качественно новая версия системы (система Эйдос-Х++), в которой преодолены ограничения и недостатки предыдущей версии и реализованы новые важные идеи по ее развитию и применению в качестве программного инструментария системно-когнитивного анализа [5].
Система Эйдос-Х++ является программным инструментарием, реализующим ряд идей системного нечеткого интервального обобщения математики.

Литература
1. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. – 576 с.
2. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование. Ч.1. Нечисловая статистика. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 541 с.
3. Луценко Е.В. Автоматизированный системно-когнитивный анализ в управлении активными объектами (системная теория информации и ее применение в исследовании экономических, социально-психологических, технологических и организационно-технических систем). – Краснодар: КубГАУ. 2002. – 605 с.
4. Луценко Е.В. 30 лет системе «Эйдос» – одной из старейших отечественных универсальных систем искусственного интеллекта, широко применяемых и развивающихся и в настоящее время // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ). 2009. – №10(054). С. 48 – 77.
5. Луценко Е.В. Универсальная когнитивная аналитическая система «Эйдос-Х++» // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ). 2012. – №09(083). С. 328 – 356.


Вернуться наверх
 Профиль  
 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Часовой пояс: UTC + 3 часа


Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
Русская поддержка phpBB